フーリエ変換との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/01 14:56 UTC 版)
「ハートレー変換」の記事における「フーリエ変換との関係」の解説
この変換は、積分核の選び方において従来のフーリエ変換 F ( ω ) = F { f ( t ) } ( ω ) {\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )} とは異なるものである。フーリエ変換においては、指数関数核: exp ( − i ω t ) = cos ( ω t ) − i sin ( ω t ) {\displaystyle \exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)} が用いられていた。ここで i は虚数単位である。 それら二つの変換は密接に関連している。特に、フーリエ変換は（正規化の系数として 1 / 2 π {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}} を用いる時）、 F ( ω ) = H ( ω ) + H ( − ω ) 2 − i H ( ω ) − H ( − ω ) 2 {\displaystyle F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}} によって、ハートレー変換から得ることが出来る。つまり、フーリエ変換の実部と虚部は、それぞれハートレー変換の偶部分（even part）と奇部分（odd part）によって与えられることになる。 逆に、実数値関数 f(t) に対して、ハートレー変換はフーリエ変換の実部と虚部を用いることで { H f } = ℜ { F f } − ℑ { F f } = ℜ { F f ⋅ ( 1 + i ) } {\displaystyle \{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\}} として得られる。ここで ℜ {\displaystyle \Re } および ℑ {\displaystyle \Im } は複素フーリエ変換の実部と虚部をそれぞれ表す。
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フーリエ変換との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 00:43 UTC 版)
「ヒルベルト変換」の記事における「フーリエ変換との関係」の解説
ヒルベルト変換はフーリエ乗算作用素（英語版）（すなわち、フーリエ変換のもと定数を乗じる操作として働く作用素）である。その乗率は、符号函数 sgn を用いて σH(ω) := −i sgn(ω) で与えられる。すなわち、フーリエ変換を F と書くとき F ( H ( u ) ) ( ω ) = ( − i sgn ( ω ) ) ⋅ F ( u ) ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(H(u))(\omega )=(-i\operatorname {sgn}(\omega ))\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega )} が成り立つ。フーリエ変換 F は、—適当な定数を掛けるだけの違いだが— 異なる定義がよくもちいられるものでも三種類あるが、符号函数は引数を正数倍しても変わらず sgn(x) = sgn(2πx) が成り立つから、上記の結果はどの定義のフーリエ変換でも変わらず適用できる。 オイラーの公式を適用すれば、 σ H ( ω ) = { i = e + i π / 2 , for ω < 0 0 , for ω = 0 − i = e − i π / 2 , for ω > 0 {\displaystyle \sigma _{H}(\omega )={\begin{cases}i=e^{+i\pi /2},&{\text{for }}\omega <0\\0,&{\text{for }}\omega =0\\-i=e^{-i\pi /2},&{\text{for }}\omega >0\end{cases}}} と書けるから、したがって H(u)(t) は u(t) の負の周波数（英語版）成分に +90° (π/2 rad) および正の周波数成分に −90° の位相ずらし (phase shft) を引き起こす。また i⋅H(u)(t) は正の周波数成分をそのままに、負の周波数成分をさらに +90°（計 +180° のずれ、つまり符号反転）を引き起こす。 ヒルベルト変換を二回反復適用するとき、u の負および正の周波数成分は、それぞれ +180° および −180° ずれて、これらのずれは一致する。よって、信号自体は符号が反転する: H(H(u)) = −u。これは ( σ H ( ω ) ) 2 = e ± i π = − 1 for ω ≠ 0 {\displaystyle (\sigma _{H}(\omega ))^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\qquad {\text{for }}\omega \neq 0} による。
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フーリエ変換との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/28 04:08 UTC 版)
「従円と周転円」の記事における「フーリエ変換との関係」の解説
中世の後半期に、中東の「マラーガ学派」(トゥスィーやウルディーら)や、コペルニクスらはエカントによる回転速度の変化を嫌い、等速円運動の重ね合わせで置き換えた。この場合は、周転円をいくつも重ね合わせる必要がある。このような理論は、惑星の軌道のフーリエ変換を有限の項で打ち切ったものと思うことが出来る。すなわち、閉じたループに沿った運動を、実数から複素数への滑らかで有界な関数と捉えて、フーリエ変換をすると、周転円による近似の系列を導くことができる。
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