フーリエ係数の大きさ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 09:17 UTC 版)
「フーリエ級数の収束」の記事における「フーリエ係数の大きさ」の解説
応用においてフーリエ係数の大きさを知ることがしばしば重要になる。関数 f が絶対連続であるなら、関数 f のみに依存する定数 K について、以下の関係が成り立つ。 | f ^ ( n ) | ≤ K | n | . {\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|}.} f が有界変動関数（英語版）であるなら、以下の関係が成り立つ。 | f ^ ( n ) | ≤ v a r ( f ) 2 π | n | . {\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {{\rm {var}}(f) \over 2\pi |n|}.} f ∈ C p なら以下の関係が成り立つ。 | f ^ ( n ) | ≤ ‖ f ( p ) ‖ L 1 | n | p . {\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\|f^{(p)}\|_{L_{1}} \over |n|^{p}}.} f ∈ C p かつ f (p) が ωp の連続率（英語版）を持つなら[要出典]、 | f ^ ( n ) | ≤ ω ( 2 π / n ) | n | p {\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\omega (2\pi /n) \over |n|^{p}}} が成り立つ。従って、f は α-ヘルダークラス（英語版）である（リプシッツ連続も参照）。 | f ^ ( n ) | ≤ K | n | α . {\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|^{\alpha }}.}
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