フーリエ級数の収束

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フーリエ級数の収束

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/02 06:57 UTC 版)

フーリエ級数の収束（フーリエきゅうすうのしゅうそく）は純粋数学における調和解析の分野で研究される問題である。フーリエ級数は一般には収束するとは限らず、収束するための条件が存在する。

収束性の判断には各点収束、一様収束、絶対収束、L ^p 空間、総和法、チェザロ和の知識を要する。

前提

区間 [0, 2π] で可積分な f を考える。f のフーリエ係数 (Fourier coefficient) ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$

正弦波（下）を基底とした重ね合わせによって作られたノコギリ波（上）；基底となる正弦波の波長 λ/k はノコギリ波の波長 λ より短い（k は 1 より大きい整数）。すべての基底はノコギリ波と同じ点に節を持つが、原理的にすべての基底は余計に節をつくってしまう。ノコギリ波の振動現象はギブズ現象と呼ばれている。

その点で左微分と右微分を持つ場合

点 x_0 を与えたとき、その点で関数のフーリエ級数が収束する十分条件については次がよく知られている；

f が周期 2π の区分的に C¹ 級の可積分関数であり、点x_0での左微分と右微分を持つとする。このときfのフーリエ級数は

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}-0)+f(x_{0}+0)\right)}$