一様収束するための条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 09:17 UTC 版)
「フーリエ級数の収束」の記事における「一様収束するための条件」の解説
次はダナム・ジャクソン（英語版）によって最初に示された。 f ∈ C p かつ f (p) は連続率（英語版） ω を持つとすると（また ω は非減少的であるとする）、フーリエ級数の部分和は元の関数に次のような早さで収束する。 | f ( x ) − ( S N f ) ( x ) | ≤ K ln N N p ω ( 2 π / N ) . {\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{p}}\omega (2\pi /N).} ここで K は f にも p にも N にも依存しない定数である。 この定理は、例えば f が α-ヘルダー条件を満たす場合、 | f ( x ) − ( S N f ) ( x ) | ≤ K ln N N α {\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{\alpha }}} で押さえられることを示す。f が 2π 周期的であり [0, 2π] で絶対連続ならば、関数 f のフーリエ級数は f に一様収束する。ただし絶対収束するとは限らない。
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