一様分布での順序統計量の同時確率
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/22 22:48 UTC 版)
「順序統計量」の記事における「一様分布での順序統計量の同時確率」の解説
同様に、i < j であるとき、2つの順序統計量 Ui < Uj の同時確率密度関数は次のようになることが示せる。 f U ( i ) , U ( j ) ( u , v ) d u d v = n ! u i − 1 ( i − 1 ) ! ( v − u ) j − i − 1 ( j − i − 1 ) ! ( 1 − v ) n − j ( n − j ) ! d u d v {\displaystyle f_{U_{(i)},U_{(j)}}(u,v)~du~dv=n!{\frac {u^{i-1}}{(i-1)!}}{\frac {(v-u)^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}{\frac {(1-v)^{n-j}}{(n-j)!}}~du~dv} これは（O (du dv) までの項において）、区間 (0, u), (u, u + du), (u + du, v), (v, v + dv), (v + dv, 1) に落ちる標本要素の数が、各々 i − 1, 1, j − 1 − i, 1, n − j 個となる確率に等しい。 同様にして、より高次の同時分布も導くことができる。おそらく意外なことに、n 次の同時分布は次のような定数になる: f U ( 1 ) , U ( 2 ) , … , U ( n ) ( u 1 , u 2 , … , u n ) d u 1 ⋯ d u n = n ! d u 1 ⋯ d u n . {\displaystyle f_{U_{(1)},U_{(2)},\dots ,U_{(n)}}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})~du_{1}\dotsb du_{n}=n!~du_{1}\dotsb du_{n}.} この一つの解釈として、「順序のない標本は確率密度 1 を持ち、同じ順序統計量の列に対応する n! 個の異なる順列を持つ標本が存在する」ことが考えられる。これは、領域 0< u1 < … < un < 1 の体積が 1 / n! に等しいことと関係がある。
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