一様収束
数学の一分野である解析学において、一様収束（いちようしゅうそく、英: uniform convergence）とは、各点収束よりも強い収束概念である。関数列 (fn) が極限関数 f に一様収束する (converge uniformly) とは、fn(x) が f(x) へ収束する速さが x に依らないということである。
連続性やリーマン可積分性といった性質は、一様収束極限には引き継がれるが、各点収束極限に引き継がれるとは限らない。これは一様収束の重要性を浮かび上がらせている。
定義
S を集合とし、各自然数 n に対し fn : S → R を実数値関数とする。関数列 (fn)n∈N が極限 f: S → R に一様収束するとは、任意の ε > 0 に対し、ある自然数 N が存在して、すべての x ∈ S とすべての n ≥ N に対して |fn(x) − f(x)| < ε が成り立つことである。
一様ノルム 関数の定義域が測度空間 E であれば、関連概念である概一様収束 (almost uniform convergence) が定義できる。関数列 (fn) が E 上概一様収束するとは、すべての δ > 0 に対して、測度が δ よりも小さい可測集合 Eδ が存在して、関数列 (fn) が E − Eδ 上一様収束することである。言い換えれば、概一様収束は、補集合上関数列が一様収束になるようないくらでも小さい測度の集合が存在することを意味する。
列の概一様収束は、名前から誤って予想されるかもしれないが、列がほとんどいたるところ一様収束することを意味するわけではないことに注意する。
エゴロフの定理は測度有限の空間上ほとんどいたるところ収束する関数列は同じ集合上概一様収束もすることを保証する。
概一様収束ならばほとんどいたるところ収束および測度収束である。
概一様収束
関連項目
脚注
参考文献
外部リンク
一様収束性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/08 06:02 UTC 版)
一般ディリクレ級数を f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} として、s を変数とする関数とみなすと、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} の一様収束性が問題となる。 一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} および絶対収束軸 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} が有限の値であるならば、このとき、 σ c ≤ σ u ≤ σ a {\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}} を満たす実数 σ u {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}} が存在して、 Re s > σ u {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{u}} を満たす複素数 s に対して、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は一様収束するが、 Re s < σ u {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{u}} を満たす複素数 s に対して、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は一様収束しない。 この σ u {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}} を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に一様収束しない場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。 一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。 ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} の一様収束軸 σ u {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}} の値は、以下の様に求められる。 σ u = lim sup x → ∞ log T x log x {\displaystyle \sigma _{u}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {\log T_{x}}{\log x}}} 。 ここで、 T x = sup − ∞ < y < ∞ | ∑ [ x ] ≤ λ n < x a n e − i λ n y | {\displaystyle T_{x}=\!\!\!\!\sup _{-\infty <y<\infty }\left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!a_{n}e^{-i\lambda _{n}y}\right|} 。
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