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一様可積分性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/04 15:34 UTC 版)

一様可積分性（いちようかせきぶんせい、英: uniform integrability）とは、数学の実解析、関数解析学および測度論の分野における重要な概念で、ルベーグ可積分性の概念を拡張し、条件付き期待値やマルチンゲールの理論の発展のために重要な役割を担うものである。確率変数の収束において、この性質は、確率の意味において収束する確率変数が $\mathbb {L} ^{p}$

一様可積分でない確率変数列の例。図の黒帯（strip）の部分は、

X_{n}\to 0

としても

\infty

へと向かう。

上の二つ目の定義によれば、

X_{n}

が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし

X

が一様可積分な確率変数であれば、

E(|X|)=E(|X|,|X|>K)+E(|X|,|X|<K)

と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は

\mathbb {L} ^{1}

に含まれることが分かる。また、任意の

\mathbb {L} ^{1}

確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。

確率変数

X_{n}

のどのような列も、ある可積分な非負の

Y

によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、

\ |X_{n}(\omega )|\leq |Y(\omega )|,\ Y(\omega )\geq 0,\ E(Y)<\infty

が成立しているなら、確率変数

\{X_{n}\}

のクラス

{\mathcal {C}}

は一様可積分である。

{\mathcal {L}}^{p}

(

p>1

) において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。

詳細は「確率変数の収束」を参照

数列 $\{X_{n}\}$ が $L_{1}$ ノルムにおいて $X$ へと収束するための必要十分条件は、それが $X$ へと測度収束し、かつ一様可積分であることである。
確率の意味において収束する確率変数列が、期待値の意味においても収束するための必要十分条件は、それが一様可積分であることである。

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