一様環

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一様環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:50 UTC 版)

数学において、あるコンパクトなハウスドルフ位相空間 X 上の一様環（いちようかん、英: uniform algebra）A とは、C*-環 C(X) の（一様ノルムに関する）閉部分環で、次の性質を満たすもののことを言う。

定数関数は A に含まれる。

すべての x, y ∈ X に対して、ある f ∈ A が存在して、f(x) ≠ f(y) となる。これは X の点の分割 (separating) と呼ばれる。

可換バナッハ環 C(X) の閉部分環として、一様環はそれ自身が（一様ノルムを備えられたとき）単位的な可換バナッハ環である。したがって定義より、一様環はバナッハ関数環である。

X 上の一様環 A は、その極大イデアルが X 内のある点 x で消失する関数のイデアル M_x であるとき、自然 (natural) と呼ばれる。

抽象的な特徴づけ

A が単位的かつ可換なバナッハ環で、A 内のすべての a に対して || a² || = || a ||² が成立するなら、あるコンパクトなハウスドルフ空間 X が存在し、A はバナッハ環として X 上のある一様環と同型となる。この結果はスペクトル半径の公式とゲルファント表現より従う。