デルタ函数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/27 10:21 UTC 版)
周期的デルタ函数（これは「集合から集合への写像」という意味では函数ではなく、シュワルツ超函数とも呼ばれる超函数と考えるべきである）に 2π を掛ければ、周期 2π の函数同士の畳み込みの単位元が得られる。すなわち、周期 2π の任意の函数 f に対して f ∗ ( 2 π δ ) = f {\displaystyle f*(2\pi \delta )=f} が成立する。このデルタ函数のフーリエ級数表現は 2 π δ ( x ) ∼ ∑ k = − ∞ ∞ e i k x = ( 1 + 2 ∑ k = 1 ∞ cos ( k x ) ) {\displaystyle 2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right)} であり、したがって（ちょうどこの級数の部分和の列となっている）ディリクレ核は「近似単位元」であると考えることができる。しかし、抽象的な話をすれば、これは正の元からなる近似単位元とはなっていない（このことが、前述のようなフーリエ級数の一様可積分性の欠如や各点収束しないといった議論につながる）。
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