デルタ作用素による特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/20 06:07 UTC 版)
「二項型多項式列」の記事における「デルタ作用素による特徴付け」の解説
多項式列 {pn(x) : n = 0, 1, 2, …} が二項型であるための必要十分条件は、以下の条件をすべて満足することである。 pn(x) ↦ npn−1(x) で定義される変数 x に関する多項式全体の成す空間上の線型汎函数がシフト同変である。 任意の x において p0(x) = 1 を満たす。 n > 0 に対して pn(0) = 0 を満たす。 この汎函数がシフト同変であるという主張は、この多項式列がシェファー列を成すということと同じである。実は二項型多項式列全体の成す集合はシェファー列全体の成す集合に真に含まれる。 上記の線型汎函数は明らかにデルタ作用素である。つまり、x を変数とする多項式全体の成す線型空間上のシフト同変な線型汎函数であって、多項式の次数を 1 だけ下げる。最も明らかなデルタ作用素の例は、差分作用素 Δ および微分作用素 D = d⁄dx である。実は任意のデルタ作用素は微分作用素 D の冪級数 Q = ∑ n = 1 ∞ c n D n {\displaystyle Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}} の形に書けることが示せる（和の添字が 1 からであることに注意）。各デルタ作用素は「基本多項式」("basic polynomials") の列、即ち p 0 ( x ) = 1 , {\displaystyle p_{0}(x)=1,} p n ( 0 ) = 0 ( n ≥ 1 ) , {\displaystyle p_{n}(0)=0\quad (n\geq 1),} Q p n ( x ) = n p n − 1 ( x ) {\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)} を満足する多項式列をただ一つ持つ。Rota, Kahaner & Odlyzko (1973) は多項式列が二項型であるための必要十分条件が、その列が適当なデルタ作用素の基本多項式列となることであることを示した。従って、このやり方で望む限りいくらでも多項式列が作れることになる。
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