関連する系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/04 15:34 UTC 版)
次のような結果がある。 上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる: lim K → ∞ sup X ∈ C E ( | X | | | X | ≥ K ) = 0. {\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}E(|X|||X|\geq K)=0.} 確率変数 X n , n = 1 , 2 , … {\displaystyle X_{n},\ n=1,2,\ldots } の列を考える。 X n ( ω ) = n , ∀ ω ∈ ( 0 , 1 n ) , X n ( ω ) = 0 otherwise {\displaystyle X_{n}(\omega )=n,\ \forall \omega \in \left(0,{\frac {1}{n}}\right),\ X_{n}(\omega )=0{\text{ otherwise}}} と定義する。すべての n に対して E ( | X n | ) = 1 {\displaystyle E(|X_{n}|)=1} であるため、明らかに X n ∈ L 1 {\displaystyle X_{n}\in \mathbb {L} ^{1}} である。しかし、上の一つ目の定義に従えば E ( | X n | , | X n | ≥ K ) = 1 ∀ n ≥ K {\displaystyle E(|X_{n}|,|X_{n}|\geq K)=1\ \forall n\geq K} であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。 一様可積分でない確率変数列の例。図の黒帯（strip）の部分は、 X n → 0 {\displaystyle X_{n}\to 0} としても ∞ {\displaystyle \infty } へと向かう。 上の二つ目の定義によれば、 X n {\displaystyle X_{n}} が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし X {\displaystyle X} が一様可積分な確率変数であれば、 E ( | X | ) = E ( | X | , | X | > K ) + E ( | X | , | X | < K ) {\displaystyle E(|X|)=E(|X|,|X|>K)+E(|X|,|X|<K)} と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は L 1 {\displaystyle \mathbb {L} ^{1}} に含まれることが分かる。また、任意の L 1 {\displaystyle \mathbb {L} ^{1}} 確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。 確率変数 X n {\displaystyle X_{n}} のどのような列も、ある可積分な非負の Y {\displaystyle Y} によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、 | X n ( ω ) | ≤ | Y ( ω ) | , Y ( ω ) ≥ 0 , E ( Y ) < ∞ {\displaystyle \ |X_{n}(\omega )|\leq |Y(\omega )|,\ Y(\omega )\geq 0,\ E(Y)<\infty } が成立しているなら、確率変数 { X n } {\displaystyle \{X_{n}\}} のクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} は一様可積分である。 L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}} ( p > 1 {\displaystyle p>1} ) において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。
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