一般ディリクレ級数(いっぱんでぃりくれきゅうすう、英: general Dirichlet series)とは、
複素数列
、無限大に発散する狭義の単調増加列
および複素数 s に対して、
で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。
特に、
のとき、
であり、(通常)ディリクレ級数となる。
また、
、
とすると、
と、ベキ級数になる。
s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。
収束性
収束軸
任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
- 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
- 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
- 一般ディリクレ級数が
を満たす複素数 s に対して収束し、
を満たす複素数 s に対して発散する様な実数
が存在する。
この
を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。
収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは
、常に発散する場合は
と定める。
収束軸の値の求め方
一般ディリクレ級数
の収束軸
の値は、以下の様に求められる。
が発散する場合
。
が収束する場合
。
また、
という式も知られている。
絶対収束性
一般の級数のときと同じく、
が収束するとき、一般ディリクレ級数
は絶対収束するという。
絶対収束する複素数 s に対する、
の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。
絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは
、常に絶対収束しない場合は
と定める。
ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。
例えば
は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。
一般に、収束軸が有限の値
を持ち、
が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸
は有限の値を持ち、
[1]であることが知られている。
絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。
一般ディリクレ級数
の絶対収束軸
の値は、以下の様に求められる。
が発散する場合
。
が収束する場合
。
また、
が成り立つ。
一様収束性
一般ディリクレ級数を
として、s を変数とする関数とみなすと、
の一様収束性が問題となる。
一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸
および絶対収束軸
が有限の値であるならば、
このとき、
[2]
を満たす実数
が存在して、
を満たす複素数 s に対して、
は一様収束するが、
を満たす複素数 s に対して、
は一様収束しない。
この
を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。
一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは
、常に一様収束しない場合は
と定める。
一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。
ディリクレ級数
の一様収束軸
の値は、以下の様に求められる。
。
ここで、
。
解析的性質
正則性
一般ディリクレ級数
は、
で収束するならば、
で正則である。さらに、
の微分は
で与えられる。
で正則である様な σ の下限を
とおくと。
。
但し、
。
一般ディリクレ級数の一意性
2つのディリクレ級数
が、ある開領域内で収束し、そこで、
が成立するならば、すべての n に対して、
である。
一般ディリクレ級数の係数
収束軸
が有限の値もしくは
である、一般ディリクレ級数
に対して、ω を
を満たす様にとり、
とする。このとき
が成立する。但し、積分路は、すべての
を通らない様にとる。
さらに、
であるならば、
。
一般ディリクレ級数の零点の個数
ε、 δ、T を任意の正数とする。
収束軸
が有限の値である一般ディリクレ級数
に対して、
を満たす複素数
のうち、
を満たすものの個数を
とおくと、
は有限の値であり、
が成立する。
注釈
- ^ α が有限の値でない場合でも、この不等式は成立する。しかし、絶対収束する点が存在するかは、この不等式からでは分からない。
- ^
が有限の値でなくても、この不等式は成り立つ。
参考文献
関連項目