数学 の微分積分学 において一般化されたライプニッツの法則 (generalized Leibniz rule), 一般のライプニッツの法則 （いっぱんのライプニッツのほうそく、英 : general Leibniz rule [1] 一般ライプニッツ則 ）あるいは単にライプニッツの法則は、積の法則 （これもまたライプニッツの法則と呼ばれる）の一般化であり、f , g n 回微分可能な関数とするとき、それらの積 fg の n 階微分が
(
f
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
k
)
g
(
n
−
k
)
{\displaystyle (fg)^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}}
で与えられることを述べるものである。ここで ( n k ) 二項係数 である。ドイツ の哲学者 ・数学者 のゴットフリート・ライプニッツ の名に因む。
この法則は、積の法則と数学的帰納法 を用いることで証明できる。
例
n = 1
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}
n = 2
(
f
g
)
″
=
f
″
g
+
2
f
′
g
′
+
f
g
″
{\displaystyle (fg)''=f''g+2f'g'+fg''}
n = 3
(
f
g
)
‴
=
f
‴
g
+
3
f
″
g
′
+
3
f
′
g
″
+
f
g
‴
{\displaystyle (fg)'''=f'''g+3f''g'+3f'g''+fg'''}
各項の係数は二項定理 と同様に二項係数 となり、パスカルの三角形 から求めることができる。
多因子版 f 1 , …, fm m 個の n 階微分可能函数のとき、
(
f
1
f
2
⋯
f
m
)
(
n
)
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
f
1
(
k
1
)
f
2
(
k
2
)
⋯
f
m
(
k
m
)
{\displaystyle (f_{1}f_{2}\dotsm f_{m})^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}}f_{1}^{(k_{1})}f_{2}^{(k_{2})}\dotsm f_{m}^{(k_{m})}}
と書ける。
ここで、
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
!
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\dotsm k_{m}!}}}
多項係数 である。
多変数版 多重指数 記法を使い、より一般に
∂
α
(
f
g
)
=
∑
β
≤
α
(
α
β
)
(
∂
α
−
β
f
)
(
∂
β
g
)
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\beta }}(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g)}
の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素 の合成の表象 を計算する公式の導出に用いられる。実は、P, Q を（係数が十分多くの回数微分可能であるような）微分作用素とし、R ≔ P ∘ Q R もまた微分作用素であり、R の表象が
R
(
x
,
ξ
)
=
e
−
⟨
x
,
ξ
⟩
R
(
e
⟨
x
,
ξ
⟩
)
{\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle })}
R
(
x
,
ξ
)
=
∑
α
1
α
!
(
∂
∂
ξ
)
α
P
(
x
,
ξ
)
(
∂
∂
x
)
α
Q
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi )}
を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間 には環 の構造が入る。
関連項目 注釈
^ Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318
外部リンク
