多変数版
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 00:14 UTC 版)
「一般のライプニッツの法則」の記事における「多変数版」の解説
多重指数記法を使い、より一般に ∂ α ( f g ) = ∑ β ≤ α ( α β ) ( ∂ α − β f ) ( ∂ β g ) {\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g)} の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、P, Q を（係数が十分多くの回数微分可能であるような）微分作用素とし、R := P ∘ Q とするとき、R もまた微分作用素であり、R の表象が R ( x , ξ ) = e − ⟨ x , ξ ⟩ R ( e ⟨ x , ξ ⟩ ) {\textstyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle })} で与えられるから、ここに直接計算によって R ( x , ξ ) = ∑ α 1 α ! ( ∂ ∂ ξ ) α P ( x , ξ ) ( ∂ ∂ x ) α Q ( x , ξ ) {\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi )} を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間には環の構造が入る。
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