多変数関数と多価関数とは? わかりやすく解説

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多変数関数と多価関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/12 01:12 UTC 版)

関数 (数学)」の記事における「多変数関数と多価関数」の解説

複数変数によって値が決定される関数多変数関数という。これは複数の数の集合たちの直積集合から数の集合への写像であると解釈されるベクトル[要曖昧さ回避]の集合定義域とする独立変数をもつ関数解釈することもある。n 個の変数で決まる関数であれば、n 変数関数とも呼ばれ y = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} のように書かれる例えy = x 1 2 + x 2 2 {\displaystyle y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} は二変数関数である。 一つ入力複数出力返すような対応規則関数仲間として捉えるとき多価関数 (multi-valued function) という。常に n 個の出力を得る関数は n 価であるといい、その n を多価関数価数と呼ぶ。例えば正の実数にその平方根与え操作正と負二つ値を持つので、二価関数である。多価関数対し、普通の一つ値し返さない関数一価関数といわれる多変数関数独立変数ベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが、逆に従属変数ベクトルの値を持つような写像考えられ、それをベクトル値関数という。ベクトル値関数与えられたとき、像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像合成することにより、通常の一価関数複数得られる。つまり、定義域共有するいくつかの関数一つベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる。 一つの例として、実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } で定義され二価関数 f ( x ) := ± 1 + x 2 {\displaystyle f(x):=\pm {\sqrt {1+x^{2}}}} はベクトル値関数 f : R → R 2 ;   x → f ( x ) = ( 1 + x 2 , − 1 + x 2 ) {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2};\ x\to f(x)=({\sqrt {1+x^{2}}},-{\sqrt {1+x^{2}}})} として扱うことができる。また、定義域の "コピー" を作って定義域広げてやることで、その拡張され定義域上の一価関数 f : A ⊔ B → R ( A = B = R ) {\displaystyle f\colon A\sqcup B\to \mathbb {R} \quad (A=B=\mathbb {R} )} f ( x ) = { − 1 + x 2 ( x ∈ A ) , 1 + x 2 ( x ∈ B ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}-{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in A),\\{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in B)\end{cases}}} と見なすこともある。複素変数対数関数 log素朴には無限多価関数であるが、これを logリーマン面上の一価関数見なすなど、定義域広げて一価にする手法解析的関数に対してしばしば用いられる

※この「多変数関数と多価関数」の解説は、「関数 (数学)」の解説の一部です。
「多変数関数と多価関数」を含む「関数 (数学)」の記事については、「関数 (数学)」の概要を参照ください。

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