多変数関数の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/04 10:12 UTC 版)
詳細は「函数の全微分」を参照 多変数関数の微分は以下の様に定義される。 y = f ( x 1 , … , x n ) , {\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),\,} で定義される多変数関数を考える。n 個の独立変数うち任意の一つ xi の増分 dxi に対する y の増分の主要部は、y の xi に関する偏微分を用いて ∂ y ∂ x i d x i {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}dx_{i}} と表される。全ての独立変数について以下の様に総和を取ったものを全微分（total differential）または単に微分と呼び、これが独立変数 x1…xn の増分に対する y の増分の主要部にあたる。 d y = ∂ y ∂ x 1 d x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n d x n {\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}} より正確には、多変数関数の微分は以下の様に定義される。f が微分可能関数であるならばフレシェ微分可能の定義より、その増分は Δ y = f ( x 1 + Δ x 1 , … , x n + Δ x n ) − f ( x 1 , … , x n ) = ∂ y ∂ x 1 Δ x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n Δ x n + ε 1 Δ x 1 + ⋯ + ε n Δ x n {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}=f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}} で与えられ、この時増分Δxi が全て0に漸近するならば、誤差項εi は0に漸近する。よって全微分は厳密には以下の様に定義される。 d y = ∂ y ∂ x 1 Δ x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n Δ x n {\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}} 一変数の場合と同様に、 d x i ( Δ x 1 , … , Δ x n ) = Δ x i {\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i}} であるから、 d y = ∂ y ∂ x 1 d x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n d x n {\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}} となる。このdy は、 d y ≈ Δ y {\displaystyle dy\approx \Delta y} と見なせる。この誤差は変数の増分を十分に小さく取ることにより、 Δ x 1 2 + ⋯ + Δ x n 2 {\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}} に対して任意に小さくすることが出来る。
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