一変数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/17 03:00 UTC 版)
定義 1.1. (全変動) 実数直線内の区間 [a, b] ⊂ ℝ 上で定義された実数値（あるいはより一般に複素数値）函数 f の全変動（英語版） V ba (f) (= V[a, b](f) = V(f, [a,b])) は V a b ( f ) := sup P ∈ P ∑ i = 0 n P − 1 | f ( x i + 1 ) − f ( x i ) | {\displaystyle V_{a}^{b}(f):=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|} で定義される量である。ここに上限（英語版）は与えられた区間の分割の全体 𝒫 = {P = {x0, …, xnP} : P は区間 [a, b] の分割} に亙ってとるものとする。 f が微分可能かつその導函数がリーマン可積分ならば、f の全変動はグラフの弧長の垂直成分 V a b ( f ) = ∫ a b | f ′ ( x ) | d x {\textstyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,{\mathit {dx}}} に等しい。 定義 1.2. (有界変動函数) 実数直線上で定義された実数値函数 f が、与えられた区間 [a, b] ⊂ ℝ 上で有界変動であるとは、その区間における f の全変動が有限となるときに言う。記号で書けば、 f ∈ B V ( [ a , b ] ) ⟺ def V a b ( f ) < + ∞ . {\displaystyle f\in BV([a,b]){\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}V_{a}^{b}(f)<+\infty .} 実函数 ƒ が [a, b] 上で有界変動となるための必要十分条件が、[a, b] 上で広義単調増大な二つの函数の差 ƒ = ƒ1 − ƒ2 に書けることであることが示せる。このような差への分解を（函数の）ジョルダン分解 と呼び、測度のジョルダン分解と関連する。 スティルチェス積分を考えることにより、閉区間 [a, b] 上の任意の有界変動函数は連続函数の空間 C[a, b] 上の有界線型汎函数を定める。その特別の場合として、リースの表現定理は任意の有界線型汎函数がこの方法で一意に得られることを述べる。正規化された正値函数あるいは確率測度は広義単調増大下半連続な正値函数に対応する。このような観点はスペクトル論において、特に常微分方程式（英語版）への応用において重要である。
※この「一変数の場合」の解説は、「有界変動函数」の解説の一部です。
「一変数の場合」を含む「有界変動函数」の記事については、「有界変動函数」の概要を参照ください。
一変数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/30 18:28 UTC 版)
「ウィルティンガーの微分」の記事における「一変数の場合」の解説
定義1. 複素平面 C ≡ R 2 = { ( x , y ) ∣ x ∈ R , y ∈ R } {\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} ,\ y\in \mathbb {R} \}} を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階線型偏微分作用素として定義される： ∂ ∂ z = 1 2 ( ∂ ∂ x − i ∂ ∂ y ) , ∂ ∂ z ¯ = 1 2 ( ∂ ∂ x + i ∂ ∂ y ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).} 明らかに、これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域 Ω ⊆ R 2 {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}} 上の C 1 {\displaystyle C^{1}} 級関数の空間であるが、これらの作用素は線型であり定数係数であるから、超関数の各空間にただちに拡張できる。
※この「一変数の場合」の解説は、「ウィルティンガーの微分」の解説の一部です。
「一変数の場合」を含む「ウィルティンガーの微分」の記事については、「ウィルティンガーの微分」の概要を参照ください。
一変数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/02 23:12 UTC 版)
a, b は実数の定数とするとき、 a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} または a x = − b {\displaystyle ax=-b} なる形をとる。後者の形の場合は、a ≠ 0 ならば（a−1 = 1⁄a が存在するから）一意的に解けて x = −b⁄a がその解である。a = 0 のとき、b ≠ 0 ならば不能、b = 0 ならば不定である。
※この「一変数の場合」の解説は、「一次方程式」の解説の一部です。
「一変数の場合」を含む「一次方程式」の記事については、「一次方程式」の概要を参照ください。
- 一変数の場合のページへのリンク
