一変数関数の微分への帰着
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
「多変数の微分」の記事における「一変数関数の微分への帰着」の解説
(1-6) の各成分、つまり ∂ [ a ] f i | [ p ] {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数 f i ∘ l [ a , p ] ( t ) = f i ( t a + p ) {\displaystyle f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=f_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )} (1-15) を、t = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、 ∂ [ a ] f i | [ p ] = d ( f i ∘ l [ a , p ] ) d t | t = 0 = d f i ( t a + x 0 ) d t | t = 0 {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={\left.{\frac {d(f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]})}{dt}}\right|}_{t=0}={\left.{\frac {df_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {x} _{0})}{dt}}\right|}_{t=0}} (1-16) である。但し、 l [ a , p ] {\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}} は、 l [ a , p ] ( t ) = t a + p {\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=t\mathbf {a} +\mathbf {p} } (1-17) で定まる R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の直線である。また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。
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