リーマン可積分

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リーマン積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/07 16:52 UTC 版)

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解析学
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特殊化 分数階微積分 解析接続 マリアヴァン 確率 変分
その他 解析学記号
表 話 編 歴

数学の実解析の分野において、リーマン積分（リーマンせきぶん、英: Riemann integral）とは、ベルンハルト・リーマンによる区間上の関数の積分の最初の厳密な定式化である。 リーマン積分の源流は、オイラーによる左リーマン和と右リーマン和を用いた逆微分による定積分の近似式にまで遡ることができる。 以後、ラクロワやポアソンを経て、コーシーによって微分とは独立に積分が定義できるようになり、リーマンによって現在の形に定式化された。 多くの関数や実際的な応用に対しては、リーマン積分は微分積分学の基本定理による計算や数値積分による近似計算が可能である。

リーマン積分は ℝⁿ の有界集合上の関数に対して定義されるが、積分範囲にある種の極限を考えることにより、広義リーマン積分が定義される。広義リーマン積分との対比で、通常のリーマン積分を狭義リーマン積分とも呼ぶ。

リーマン積分は積分の多くの性質を示すのに有効であるが、積分と極限との交換に関係する性質を示すには理論的困難を伴うなど、いくつかの技術的欠点がある。この為こうした欠点を補うべくリーマン–スティルチェス積分やルベーグ積分など積分概念の別の定式化方法も提案されている。

曲線の下側にある領域の面積としての積分。

定義（一次元の場合）

区間の分割

区間 [a, b] の分割とは

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b$

リーマン和の列。右上の数値は灰色の矩形の総面積で、函数の積分値に収束する。

定義（一般の次元の場合）

区間の分割

ℝⁿ 上のリーマン積分を定義する為、いくつかの概念を定義する。

ℝⁿ の部分集合 I で、

$I=[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$