ガウス＝クロンロッド求積法

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ガウス＝クロンロッド求積法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 07:22 UTC 版)

数学の数値解析の分野におけるガウス＝クロンロッド求積法（ガウス＝クロンロッドきゅうせきほう、英: Gauss–Kronrod quadrature formula）とは、（積分の近似値を計算するための）数値積分法の一種である。ガウス求積法の変形版であり、精度の低い近似での計算結果から得られる情報を再利用することで、より精度の高い近似を行うことが出来るように評価点を選ぶ求積法である。入れ子型求積則（nested quadrature rule）の一例で、函数の評価点の集合の中に高位と低位の二種類の求積則が存在する（後者は「埋め込み則」（embedded rule）と呼ばれる）。それら二つの近似の差は、積分の計算誤差を推定するために用いられる。

ガウス＝クロンロッド求積法は、1960年代にこの求積法を発見したアレクサンダー・クロンロッドと、カール・フリードリヒ・ガウスの名にちなむ。

解説

数値積分の問題では、次の形式の定積分の近似値を求める。

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

このような積分の近似値は、例えば n-点ガウス求積法

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$

によって求めることが出来る。ここで w_i は重みであり、x_i は函数 f(x) の評価点である。

区間 [a, b] が細分されるとき、新しい区間のガウスの評価点は決して以前の評価点とは一致しない（奇数個の評価点の中央の点を除く）。したがって積分はそのような全ての点において評価される。ガウス＝クロンロッド求積法は、上述のガウス求積法にさらに $n+1$ 個の評価点を加えることで、位数 $2n+1$ となるように拡張された求積法である。そのような新たな点は、スティルチェス多項式の零点で与えられる。このような方法によって、函数の低位の推定値を再利用することにより、高位の推定を行うことが可能となる。ガウス求積法とガウス＝クロンロッド求積法の差は、しばしば近似誤差の推定に用いられる。

例

ある有名な例では、7-点ガウス則と 15-点クロンロッド則が組み合わされる(Kahaner, Moler & Nash 1989, §5.5)。ガウスの点はクロンロッドの点に組み込まれるため、求積および誤差推定に必要な函数の評価の総数は 15 となる。

[−1,1] 上の (G7,K15)

ガウス点		重み
±0.94910 79123 42759	∗	0.12948 49661 68870
±0.74153 11855 99394	∗	0.27970 53914 89277
±0.40584 51513 77397	∗	0.38183 00505 05119
0.00000 00000 00000	∗	0.41795 91836 73469
クロンロッド点		重み
±0.99145 53711 20813		0.02293 53220 10529
±0.94910 79123 42759	∗	0.06309 20926 29979
±0.86486 44233 59769		0.10479 00103 22250
±0.74153 11855 99394	∗	0.14065 32597 15525
±0.58608 72354 67691		0.16900 47266 39267
±0.40584 51513 77397	∗	0.19035 05780 64785
±0.20778 49550 07898		0.20443 29400 75298
0.00000 00000 00000	∗	0.20948 21410 84728

推奨される誤差推定は $(200|G7-K15|)^{1.5}$ である。

Patterson (1968) では、このタイプのさらなる拡張を見つける方法が示されている。

実装

• QUADPACKに実装されている。QUADPACK は数値積分を FORTRAN 77 で実装したものである。（Netlib における）SLATEC は、数値計算のための広範なパブリック・ドメイン・ライブラリである。
  • QUADPACK は SciPy、R言語、GNU Octave、NAG Numerical Libraries などで用いられている。
  • QUADPACK は GNU Scientific Library にてC言語に移植されている。
• Boost に実装されている。
• ALGLIB source code in C#, C++, Delphi & Visual Basic

関連項目

• クレンショウ＝カーティス求積法 同程度の精度を備える別の入れ子型求積則

参考文献

• Notaris, S. E. (2016). Gauss–Kronrod quadrature formulae–a survey of fifty years of research. Electron. Trans. Numer. Anal, 45, 371-404.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Gauss–Kronrod quadrature formula", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989), Numerical Methods and Software, en:Prentice–Hall, ISBN 978-0-13-627258-8 
• Kronrod, Aleksandr Semenovish (1965), Nodes and weights of quadrature formulas. Sixteen-place tables, New York: Consultants Bureau  (Authorized translation from the Russian)
• Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, C. W.; Kahaner, D. K. (1983), QUADPACK, A subroutine package for automatic integration, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-12553-2  (Reference guide for QUADPACK)
• Patterson, T. N. L. (1968), “The Optimum Addition of Points to Quadrature Formulae”, Math. Comput. (American Mathematical Society) 22 (104): 847–856 and C1–C11, doi:10.2307/2004583, JSTOR 2004583, https://jstor.org/stable/2004583 . Erratum in Math. Comput. 23: 892.

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ガウス＝クロンロッド求積法

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「ガウス求積」の記事における「ガウス＝クロンロッド求積法」の解説

詳細は「ガウス＝クロンロッド求積法」を参照 区間 [a, b] を分割すると、各部分区間のガウス評価点は元の区間での評価点とは一致せず（奇数の場合の0を除く）、従って、新たに評価点を求める必要がある。ガウス＝クロンロッド求積法は、ガウス求積法の n 個の点に n + 1 個の点を追加し、求積法としての次数を 2n + 1 にするものである。これにより、低次の近似で使う関数値を高次の近似の計算に再利用できる。通常のガウス求積法とクロンロッドの拡張による近似の差分が誤差の見積もりによく利用される。