数値積分

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数値積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/19 04:22 UTC 版)

数値積分（すうちせきぶん、英: numerical integration）とは、狭義には与えられる関数の定積分の値を、解析的にではなく数値的に求める求積法のことであり、広義には与えられる導関数から原関数を求める手法、また微分方程式を数値的に解く手法 (常微分方程式の数値解法、偏微分方程式の数値解法) を含む。数値解析の一分野である。

狭義の数値積分（関数の定積分の値を求める方法）は有限要素法などで応用されている。 以下では、狭義の数値積分について述べる。

乱数を用いない積分法

1変数の定積分の数値積分として、乱数を使わない方法には、

• ニュートン・コーツの公式
  • 中点則：区分求積法の定義で用いられる、シンプルな長方形近似
  • それについでシンプルな台形公式
  • 簡便な割に高精度なシンプソンの公式
• ロンバーグ積分 (台形公式と数列の加速法を組み合わせた公式)
• 積分点を適応的に取るガウス求積、ガウス＝クロンロッド求積法、クレンショー・カーティス法

などがある。

ニュートン・コーツ系の公式の場合、中点則と台形公式の誤差項はどちらも2階導関数で表され、シンプソンの公式とシンプソンの3/8公式の誤差講はどちらも4階導関数で表される。滑らかな関数の場合には同じ誤差のグループ同士では結果に大きな違いは生じない。通常はシンプソンの公式の方が台形公式よりも近似誤差が小さいが、そうならない場合もある。

二重指数関数型数値積分公式、IMT積分などの変数変換を用いた公式を適用すれば、被積分関数が端点に特異性を持つ場合でも、積分値を計算することが可能な場合もある。

多重積分

2変数以上の多重積分の場合は、外側から積分し、外の変数を定数として内側の積分を数値積分すれば良い。ただし一般に、変数の数が多くなると、統計的サンプリングに基づいたモンテカルロ法や準モンテカルロ法の方が計算効率が良くなる。 なお、1983年当時における多重積分の理論、アルゴリズムの状況は次元に応じて次のように分類されている。

• Range O（2次元）：満足のできる状況．
• Range I（3−7次元）：積型公式（直積型公式）かその変形によりなんとか扱える．
• Range II（7−15次元）：Ranges I と IIIの 境界領域．
• Range III（15次元以上）：モンテカルロ法や準モンテカルロ法が必要になる．

高次元空間での数値積分は金融工学や量子物理学などの分野でよく用いられるため、活発に研究されている。

精度保証付き数値積分

定積分の精度保証付き数値計算は、被積分関数の多項式近似と多項式の値を精度保証付き数値計算で求める技術を組み合わせて実現される。多項式の値を計算する際にはホーナー法が使われ、多項式近似にはテイラー展開や多項式補間が使われる。

直交関数の零点を利用する近似公式

ガウス求積は直交多項式の零点を活用する積分公式である。ベッセル関数の零点を活用する積分公式も開発されており、被積分関数がベッセル関数を含む場合に有効とされている。

超関数を使った積分

特異点を持つ積分の場合、佐藤超函数を経由して複素数値積分に持ち込むことで特異点を避け、誤差を抑えられる手法が提案されている。

部分積分を使った数値積分

振動積分に対しては部分積分を組み合わせた数値積分が提案されている。

乱数を用いる積分

被積分関数の定義域が高次元のために各変数ごとの積型積分近似公式では必要とする精度に対する計算量が多くなりすぎる場合(次元の呪いが発生する場合)にはモンテカルロ法の方が計算の能率が良くなる。

• 単純なモンテカルロ積分
• 加重サンプリングを行う VEGAS 法
• 層化抽出法を行うよう改良を加えた MISER 法

などがあり、このような数値積分法はモンテカルロ積分法とよばれる。

一様乱数の代わりに超一様分布列を使うと準モンテカルロ法になり、収束がより速くなる場合がある。

確率論やランダム行列理論などを用いて上記の近似公式とモンテカルロ積分法を融合させたアルゴリズムも提案されている。

積分範囲が無限区間の場合

積分範囲が無限区間の場合は、下記の方法で置換積分で変換して数値積分する方法がある。ただし関数によっては違う方法を利用した方が良い場合もある。無限大に近づくときに急激に0に収束することが解析的に分かっている場合は、積分範囲を有界で区切ってしまえば良い場合もある。

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{(1-t^{2})^{2}}}\,dt$

ウィキメディア・コモンズには、数値積分に関連するカテゴリがあります。

• Lobatto Quadrature Wolfram Mathworld の記事
• Lobatto quadrature formula Encyclopedia of Mathematics の記事
• 桂田祐史：「数値積分解説」（2019年6月30日）
• Menghan Wu; Haiyong Wang: "Gaussian quadrature rules for composite highly oscillatory integrals", Math. Comp. (2023年7月21日）doi:10.1090/mcom/3878

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数値積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/31 03:06 UTC 版)

「モンテカルロ法」の記事における「数値積分」の解説

数値解析の分野においてはモンテカルロ法はよく確率を近似的に求める手法として使われる。n 回シミュレーションを行い、ある事象が m 回起これば、その事象の起こる確率は当然ながら m/n で近似される。試行回数が少なければ近似は荒く、試行回数が多ければよい近似となる。 また、この確率を利用すれば、積分（面積）の近似解を求めることが可能となる。領域 R の面積 S は、領域 R を含む面積 T の領域内でランダムに点を打ち、領域 R の中に入る確率 p をモンテカルロ法で求めれば、S = pT で近似される。 n 重積分 I = ∫ 0 1 ⋯ ∫ 0 1 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n をサンプルサイズ N のモンテカルロ法で計算するには、0 以上 1 以下の値をとる n × N 個の一様乱数 X i , j , 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ N を生成して、 I N = 1 N ∑ j f ( X 1 , j , X 2 , j , … , X n , j ) とすれば、IN が積分の近似値となる。一様乱数を超一様分布列に置き換えると準モンテカルロ法になる。 これに層化抽出法を行うよう改良を加えた MISER 法や、加重サンプリングを行う VEGAS 法といった改良版のアルゴリズムがある。MISER 法では、積分範囲を分割し、それぞれの領域中でランダム・サンプリングを行い、被積分関数値の分散が最も大きくなる領域をより小さな領域に分割して、そこでさらにサンプリングを行うことで精度を上げる。VEGAS 法では、被積分関数値の大きな場所にサンプリング点を増やし、積分値に寄与の大きなところに集中することで精度を上げる。積分の計算法には他に台形公式・シンプソンの公式・二重指数関数型数値積分公式等があるが、モンテカルロ法はこれらの手法より多次元問題の際に利用しやすく、誤差が少ない。

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数値積分

出典:『Wiktionary』 (2021/11/30 04:31 UTC 版)

名詞

数値 積分（すうちせきぶん）

1. 電子計算機で定積分を（近似的に）求めるアルゴリズムの総称。

上位語

• 数値解析

翻訳

• 英語: numerical integration