多重積分

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多重積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/22 03:05 UTC 版)

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特殊化 分数階微積分 マリアヴァン 確率 変分
表 話 編 歴

数学の微分積分学周辺分野における重積分（じゅうせきぶん、英: multiple integral; 多重積分）は、一変数の実函数に対する定積分を多変数函数に対して拡張したものである。n-変数函数の重積分は n-重積分とも呼ばれ、二変数および三変数函数に対する重積分は、それぞれ特に二重積分 (double integral) および三重積分 (triple integral) と呼ばれる。

導入

二つの曲線に挟まれた領域の面積としての積分

曲面 z = x² − y² の下にある領域の体積としての二重積分。立体の底面となる矩形領域が積分領域で、上面となる曲面は二変数の被積分函数のグラフである。

一変数の正値函数の定積分が、函数のグラフと x-軸とに挟まれた領域の面積を表していたのとちょうど同じように、二変数の正値函数の二重積分は（三次元空間内のデカルト平面上で定義される）函数のグラフとして得られる曲面とその函数の定義域を含む平面との間に挟まれる領域の体積を表す。変数の数が三以上の多変数函数についても同様に、多変数函数のグラフと定義域を含む長空間で挟まれる領域の超体積に多重積分が対応している。

領域 D 上で定義された n-変数函数 f(x₁, x₂, …, x_n) の多重積分は、実行と逆順（最初の積分記号は最後の積分演算に対応する）に並べた積分記号と正順（最初の積分変数が最初の積分演算に対応する）に並べた積分変数で被積分函数を挟んだ入れ子構造として

$\int \cdots \int _{D}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}$

非有界領域の例

一変数の場合と同様に、多重リーマン積分を定義できるのは有界領域上で有界な函数だけであり、非有界領域上の積分あるいは領域の境界の近くで非有界な函数の積分に定義を拡張しようとした場合は、広義積分を考えることが必要になる。広義多重積分は領域の極限のとり方の自由度が高い（極限によって必ずしも面積が確定しない領域が存在する）ため、一変数の場合の広義積分と少々事情が異なるが、一定の仮定を満たす場合については一変数と同様の議論を行うことができる。

最も単純な場合として、非有界領域 D 上で定義された正値函数 f で、その領域に含まれる任意の有界閉部分領域（コンパクト領域）K 上で函数が有界かつ可積分であるものを考える。この場合、もともとの非有界領域 D が有界閉部分領域の列または有向族 K_λ の極限として到達可能ならば、f の D 上の積分を極限

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} :=\lim _{K_{\lambda }\to D}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} }$ ウィキソースに解析概論/第8章の原文があります。

典拠管理	BNE: XX552555 MA: 54865166 NKC: ph385192