多重線型写像としての取り扱い
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:53 UTC 版)
「テンソル」の記事における「多重線型写像としての取り扱い」の解説
テンソルを多次元配列として定義するやり方では、内在的な幾何学的対象であることから期待されるべき性質である基底の取り方に依らないことが、定義から明らかでないという欠点がある。テンソルの変換法則が実際に基底の取り方に依らないことは証明できることではあるが、しばしばより内在的な定義が取り上げられる。その一つが、テンソルを多重線型写像として定義することである。これによれば、(p, q)-型テンソル T は函数 T : V ∗ × ⋯ × V ∗ ⏟ p copies × V × ⋯ × V ⏟ q copies → R {\displaystyle T\colon \underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\to \mathbb {R} } で、各引数に関して線型であるようなものとして定義される。ここで V は有限次元ベクトル空間で、V∗ はその双対ベクトルからなる双対空間である。 (p, q)-型の多重線型写像 T を V の基底 {ej} とその V∗ における標準的な双対基底 {εi} に対して施せば、 T j 1 … j q i 1 … i p ≡ T ( ε i 1 , … , ε i p , e j 1 , … , e j q ) {\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}})} によりその成分として (p + q)-次元配列が得られる。基底の取り方を変えれば異なる成分が得られるが、T は各引数に関して線型であるから、成分は多次元配列としてのテンソルの変換法則を満足する。したがって、T の成分の成す多次元配列はその意味において確かにテンソルを成していることが分かる。さらに言えば、そのような性質を持つ多次元配列は必ず多重線型写像 T の成分として実現できる。そのような事情により、多重線型写像をテンソルに基づく内在的対象を与えるものとして見ることができる。 テンソルを多重線型写像と見る立場では、ベクトル空間 V を V の双対空間上の線型汎函数全体の成す空間（つまり V の二重双対（英語版） V∗∗ ）と同一視するのが普通である。V からその二重双対への自然な線型写像が常に、V のベクトルを「V∗ に属する線型形式を与えられたベクトルにおいて評価した値へ写す写像」と看做すことによって与えられる。V が有限次元ならばこの線型写像は同型であり、しばしば V をその二重双対と同一視することは有用である。
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