多重線形代数を用いた向きの定式化とは? わかりやすく解説

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多重線形代数を用いた向きの定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/27 01:25 UTC 版)

向き」の記事における「多重線形代数を用いた向きの定式化」の解説

n 次元ベクトル空間 V に対して、その n次外積 ΛnV考えることができるが、これは1次元実ベクトル空間になっている。この直線上に向き定めることが V の向き定めることになる。ΛnV 上には「元々」決まった向きというものはないので、この向き選択恣意的なのである。ΛnV 上の向きはその 0 でないベクトル ω ^ {\displaystyle {\hat {\omega }}} を一つ選ぶことによっても指定することができる。 この方法による向き定式化始め導入され基底による向き定式化の関係は、線型写像 ω : ⋀ n V → R , t ω ^ ↦ t {\displaystyle \omega \colon \bigwedge ^{n}V\rightarrow \mathbb {R} ,t{\hat {\omega }}\mapsto t} によって与えられる考えている向き付けにおいて ω が(順序付き基底集合の上定め写像(ωが交代n形式なのでn個の順序づけられたベクトル対し ω は実数値を与える)によって与えられる。ω が正の値を与えるような基底が、正の向き持った基底と言うことができる。 ω ^ {\displaystyle {\hat {\omega }}} は体積要素、ω は体積形式とも呼ばれる。(ei)i = 1nが正の向きを持つ基底のとき、対応する体積要素e1e2∧…∧en になる。 ここでの向き定式化基底変換行列行列式との関係は、V上の線形変換行列式が最高次外積上に引き起こすスカラー作用理解できることによって与えられる

※この「多重線形代数を用いた向きの定式化」の解説は、「向き」の解説の一部です。
「多重線形代数を用いた向きの定式化」を含む「向き」の記事については、「向き」の概要を参照ください。

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