多重解像度解析による離散ウェーブレット変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/22 08:37 UTC 版)
「ウェーブレット」の記事における「多重解像度解析による離散ウェーブレット変換」の解説
詳細は「多重解像度解析」を参照 各種あるウェーブレット変換の離散化の全ての方法において、上半面上の各有界矩形領域は有限個の係数のみを持つ。しかし、各係数を求めるためには積分の評価が必要となる。このような数値的な複雑さを避けるために、スケーリング関数（ファーザーウェーブレット）と呼ばれる補助関数 ϕ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \phi \in L^{2}(\mathbb {R} )} が利用される。このとき a は整数でなければならない。例えば典型的な係数として a=2、b=1 が用いられる。最も有名なファーザー・マザーウェーブレットの組としてドブシー（英語版）の4タップウェーブレットがある。 マザー・ファーザーそれぞれのウェーブレットから部分空間 V m = span ( ϕ m , n : n ∈ Z ) {\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} )} , where ϕ m , n ( t ) = 2 − m / 2 ϕ ( 2 − m t − n ) {\displaystyle \phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}t-n)} と W m = span ( ψ m , n : n ∈ Z ) {\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} )} , where ψ m , n ( t ) = 2 − m / 2 ψ ( 2 − m t − n ) {\displaystyle \psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}t-n)} . が構成される。これらより、系列 { 0 } ⊂ ⋯ ⊂ V 1 ⊂ V 0 ⊂ V − 1 ⊂ ⋯ ⊂ L 2 ( R ) {\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )} は L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} の多重解像度解析を形成することになり、また部分空間 … , W 1 , W 0 , W − 1 , … … {\displaystyle \dots ,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots \dots } は上の系列の直交する差分、つまり W m {\displaystyle W_{m}} は V m − 1 {\displaystyle V_{m-1}} 中にある V m {\displaystyle V_{m}} の直交補空間となる。サンプリング定理と同様に、sampling distance 2 m {\displaystyle 2^{m}} の空間 V m {\displaystyle V_{m}} は 0 から 2 − m − 1 {\displaystyle 2^{-m-1}} の周波数帯域をほぼカバーすることになる。また W m {\displaystyle W_{m}} は直交補空間として帯域 [ 2 − m − 1 , 2 − m ] {\displaystyle [2^{-m-1},2^{-m}]} を大まかにカバーする。 このような包含と直交の関係より，2組の恒等式 h n = ⟨ ϕ 0 , 0 , ϕ 1 , n ⟩ {\displaystyle h_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{1,n}\rangle } ϕ ( t ) = 2 ∑ n ∈ Z h n ϕ ( 2 t − n ) {\displaystyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n)} と g n = ⟨ ψ 0 , 0 , ϕ 1 , n ⟩ {\displaystyle g_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{1,n}\rangle } ψ ( t ) = 2 ∑ n ∈ Z g n ϕ ( 2 t − n ) {\displaystyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n)} を満たす系列 h = { h n } n ∈ Z {\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }} と g = { g n } n ∈ Z {\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }} が存在することになる。 2番目の恒等式はファーザーウェーブレット ϕ {\displaystyle \phi } の洗練条件（英語版）と呼ばれる。これらの恒等関係は高速ウェーブレット変換（英語版）アルゴリズムの土台となっている。
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