ディリクレの判定法

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ディリクレの判定法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 09:40 UTC 版)

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表 話 編 歴

数学において、ディリクレの判定法（ディリクレのはんていほう、英: Dirichlet's test）は、級数の収束判定法の一つである。名称はこれを記述したペーター・グスタフ・ディリクレにちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées" においてであった。

主張

実数列 $\{a_{n}\}$ と複素数列 $\{b_{n}\}$ が次の条件

• $a_{n+1}\leq a_{n}$

• $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

• ある定数 $M$ があり、全ての正の整数 N に対して $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$

を満たすならば、級数 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ は収束する。

証明

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$、$B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ とおく。

部分和分法により $S_{n}=a_{n+1}B_{n}+\sum _{k=1}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})$ と変形できる。

$B_{n}$ は絶対値が M で抑えられていて $a_{n}\rightarrow 0$ なので、第1項は0に収束する：

$a_{n+1}B_{n}\to 0$ ($n\to \infty$)

一方 $a_{n}$ は非増加数列なので $a_{k}-a_{k+1}$ は任意の k に対し非負であり、$|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M(a_{k}-a_{k+1})$ となるが、

$\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n+1})$

であるから、$\sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})$ は $n\to \infty$ のとき $Ma_{1}$ に収束する。

よって比較判定法により $\sum _{k=1}^{\infty }|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|$ もまた収束する。級数 $\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})$ は絶対収束するから自身もまた収束する。

以上より $S_{n}$ が収束することが言えた。

応用

• ディリクレの判定法で

$b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1$

とした特別な場合が交代級数判定法である。

• $\{a_{n}\}$ が減少して0に収束する実数列であれば、$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n$ は常に収束する。

• アーベルの判定法はディリクレの判定法の特別な場合だと見なせる。

広義積分

広義積分の収束に対しても類似した命題が成り立つ。実軸の非有界区間で定義された関数 f と g があって、f は任意の積分範囲での積分値の絶対値がある定数で一様に（積分範囲に依らず）上から抑えられていて、g は非負値かつ単調非増加のとき、fg の広義積分は収束する。

参考文献

• Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
• Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) 0-8247-6949-X.

外部リンク

• Proof at PlanetMath.org