線積分

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線積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/01 08:27 UTC 版)

量子力学の理論手法である「経路積分」とは異なります。

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解析学
基本定理 関数の極限 連続性 平均値の定理
微分法 定義 導関数 (一般化（英語版）) 微分 無限小 関数の 全 概念 微分の記法 二階導関数 三階導関数（英語版） 変数変換（英語版） 陰関数の微分 Related rates（英語版） テイラーの定理 法則と恒等式（英語版） 和（英語版） 積 合成 冪（英語版） 商 一般ライプニッツ ファー・ディ・ブルーノの公式（英語版）
積分法 積分一覧 定義 不定積分 積分 (広義) リーマン積分 ルベーグ積分 線積分 複素線積分 道具 部分 Discs（英語版） 円殻（バウムクーヘン）（英語版） 置換 (三角置換（英語版）) 部分分数（英語版） 順序（英語版） 漸化式（英語版）
級数 幾何 (算術幾何) 調和 交代 冪 二項 テイラー 収束判定法（英語版） 項の極限（項判定法）（英語版） 比 冪根 積分 比較 極限比較（英語版） 交代級数（英語版） 凝集 ディリクレ アーベル（英語版）
ベクトル 勾配 発散 回転 ラプラシアン 方向微分 公式（英語版） 定理 発散 勾配（英語版） グリーン ケルビン・ストークス
多変数 形式と枠組み 行列（英語版） テンソル 外 幾何学的（英語版） 定義 偏微分 多重積分 線積分 面積分 体積分 ヤコビアン ヘッセ行列
特殊化 分数階微積分 解析接続 マリアヴァン（英語版） 確率（英語版） 変分
その他 解析学記号
表 話 編 歴

数学における線積分（せんせきぶん、英: line integral; 稀に path integral^{[注釈 1]}, curve integral, curvilinear integral）は、曲線に沿って評価された函数の値についての積分の総称。ベクトル解析や複素解析において重要な役割を演じる。閉曲線に沿う線積分を特に閉路積分（へいろせきぶん）あるいは周回積分（しゅうかいせきぶん）と呼び、専用の積分記号 ${\displaystyle \oint }$

表面z = f（x、y）に沿った曲線Cの下の領域と考えることができる

線積分の対象となる函数は、スカラー場やベクトル場などとして与える。線積分の値は場の考えている曲線上での値に曲線上のあるスカラー函数（弧長、あるいはベクトル場については曲線上の微分ベクトルとの点乗積）による重み付けをしたものを「足し合わせた」ものとなる。この重み付けが、区間上で定義する積分と線積分とを分ける点である。

物理学における多くの単純な公式が、線積分で書くことによって自然に、連続的に変化させた場合についても一般化することができるようになる。例えば、力学的な仕事を表す式 W = F⋅s から曲線 C に沿っての仕事を表す式 W = ∫_CF⋅ds を得る。例えば電場や重力場において運動する物体の成す仕事が計算できる。

弧長変数と線素

「弧長」も参照

n 次元実多様体 M の領域 Ω を考える。局所的には Ω ⊂ Rⁿ と考えることができる。Ω 内の滑らかな曲線 γ: I → Ω が r = γ(t) = (γ₁(t), γ₂(t), …, γ_n(t)) で与えられているとき、s = s(t) が γ の弧長変数であるとは、それが線分 γ に沿って端点から測った γ の弧長を与えるものであることを言う。いま γ はなめらかであるから、その弧長は区間 I = [a, b] 上の各点 t₀ に対して

${\displaystyle s(t_{0})=\int _{a}^{a+t_{0}}\left|{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}\right|\mathrm {d} t=\int _{a}^{a+t_{0}}{\sqrt {({\tfrac {\mathrm {d} \gamma _{1}}{\mathrm {d} t}})^{2}+({\tfrac {\mathrm {d} \gamma _{2}}{\mathrm {d} t}})^{2}+\cdots +({\tfrac {\mathrm {d} \gamma _{n}}{\mathrm {d} t}})^{2}}}\;\mathrm {d} t}$

ベクトル場内の曲線に沿った粒子の軌跡。下に表示されているのは、曲線に沿って粒子が動いたときに粒子が出会う場のベクトルである。それらのベクトルと軌跡の各点における曲線の接ベクトルとの点乗積の和を取ったものが、求める線積分になる。