線素および体積要素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/16 05:10 UTC 版)
円筒極座標系を含む多くの問題において線素および体積要素がこの座標系でどのように表されるかを知っていることは有意である（それにより曲線経路や体積を含む問題を積分によって解く方法が考えられるようになる）。 円筒座標系における線素（英語版） は d r := d ρ ρ ^ + ρ d φ φ ^ + d z z ^ {\textstyle {\mathit {dr}}:={\mathit {d\rho }}\,{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\rho \,{\mathit {d\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\mathit {dz}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}} で与えられる。 円筒座標系における体積要素は d V := ρ d ρ d φ d z {\textstyle {\mathit {dV}}:=\rho \,{\mathit {d\rho }}\,{\mathit {d\varphi }}\,{\mathit {dz}}} となる。 動径成分 ρ が一定となる曲面（垂直円筒）上の面素（面積要素）は d S ρ := ρ d φ d z {\textstyle {\mathit {dS}}_{\rho }:=\rho \,{\mathit {d\varphi }}\,{\mathit {dz}}} になる。 方位角 φ が一定の曲面（垂直半平面）上の面素は d S φ := d ρ d z {\textstyle {\mathit {dS}}_{\varphi }:={\mathit {d\rho }}\,{\mathit {dz}}} である。 高さ z が一定の曲面（水平面）上の面素は d S z := ρ d ρ d φ {\textstyle {\mathit {dS}}_{z}:=\rho \,{\mathit {d\rho }}\,{\mathit {d\varphi }}} で得られる。 微分作用素のナブラを円筒座標系で表現すれば、以下のように勾配・発散・回転およびラプラス作用素はそれぞれ、 ∇ f = ∂ f ∂ ρ ρ ^ + 1 ρ ∂ f ∂ φ φ ^ + ∂ f ∂ z z ^ ∇ ⋅ A = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ A ρ ) + 1 ρ ∂ A φ ∂ φ + ∂ A z ∂ z ∇ × A = ( 1 ρ ∂ A z ∂ φ − ∂ A φ ∂ z ) ρ ^ + ( ∂ A ρ ∂ z − ∂ A z ∂ ρ ) φ ^ + 1 ρ ( ∂ ∂ ρ ( ρ A φ ) − ∂ A ρ ∂ φ ) z ^ ∇ 2 f = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {\boldsymbol {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}} と書くことができる。
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