線素に関する線積分の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/27 04:49 UTC 版)
上記の如く f, C を定め、C の媒介表示 r を取れば、スカラー場の線積分はリーマン和として構成することができる。区間 [a, b] を長さ Δt = (b − a)/n の n-個の小区間 [ti−1, ti] に分割し、曲線 C 上に各小区間に対応する標本点 r(ti) をとる。標本点の集合 {r(ti) | 1 ≤ i ≤ n} に対して、標本点 r(ti−1) と r(ti) を結んでできる線分の集まりによって曲線 C を近似することができる。各標本点の間を結ぶ線分の長さを Δsi と書くことにすれば、積 f (r(ti))Δsi は、高さと幅が f&(r(ti)) と Δsi で与えられる矩形の符号付面積に対応する。それらの総和を取って、分割の各小区間の長さを 0 に近づける極限を I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n f ( r ( t i ) ) Δ s i {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\Delta s_{i}} と考えるとき、曲線上の分点間の距離は Δ s i = | r ( t i + Δ t ) − r ( t i ) | = | r ′ ( t i ) | Δ t {\displaystyle \Delta s_{i}=|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})|=|\mathbf {r} '(t_{i})|\Delta t} と書けるから、これを代入して得る I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n f ( r ( t i ) ) | r ′ ( t i ) | Δ t {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))|\mathbf {r} '(t_{i})|\Delta t} は、積分 I = ∫ a b f ( r ( t ) ) | r ′ ( t ) | d t {\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|{\mathit {dt}}} に対応するリーマン和である。基本的にこの積分は、x = u(t) および y = v(t) となる制約条件下でスカラー函数 z = f(x, y) の下にある領域の面積になっている。
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