極座標系

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極座標系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/27 01:12 UTC 版)

極座標系（きょくざひょうけい、英: polar coordinate system）とは、n 次元ユークリッド空間 Rⁿ 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ₁, …, θ_n−1 からなる座標のことである。点 S(0, 0, x₃, …,x_n) を除く直交座標系は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。

いろいろな極座標とその拡張

円座標

2 次元ユークリッド空間 R² における極座標は円座標（英: circular coordinates）と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面（または平面極座標）ともいう。特異点は (r, θ) = (0, θ) 即ち、xy座標での原点 (x, y) = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = re^iθ と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。

円座標 (r,θ) から直交直線座標 (x,y) への変換は

${\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\\end{cases}}$

球座標による3次元ユークリッド空間内の点の表示

3 次元ユークリッド空間 R³ における極座標系。球面座標系（英: spherical coordinate system）とも呼ばれる。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ, φ によってなる（図を参照）。球面座標系において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上で球を描く。

球座標から直交直線座標への変換は

${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi \\y=r\sin \theta \sin \varphi \\z=r\cos \theta \\\end{cases}}$

• ドイツ

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極座標系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 12:50 UTC 版)

「円 (数学)」の記事における「極座標系」の解説

平面の座標系として、直交座標系の代わりに極座標系を用いれば、円の方程式の極座標表示が作れる。円上の任意の点の極座標を (r, θ) とし、中心の極座標を (r0, φ)（つまり、中心の原点からの距離が r0 で、φ は原点から中心へ結んだ半直線が、x-軸の正の部分から反時計回りになす角）とするとき、半径 ρ の円の極方程式は r 2 − 2 r r 0 cos ⁡ ( θ − φ ) + r 0 2 = ρ 2 と書ける。 中心が原点にあるときには、方程式は r = ρ (θ は任意) という単純な形をしている（極座標系において原点は、動径成分が r = 0 かつ偏角成分 θ は任意と表されるのであった）。 原点が円上にあるとき、方程式は r = 2 ρ cos ⁡ ( θ − φ ) {\textstyle r=2\rho \cos(\theta -\varphi )} と簡約される。例えば、半径 ρ が中心の動径成分 r0 に等しいときはそうである。 一般の場合の方程式を r について解くことができて、 r = r 0 cos ⁡ ( θ − ϕ ) ± ρ 2 − r 0 2 sin 2 ⁡ ( θ − φ ) となる。ここで ± の符号を両方取らないと、半円しか記述できない場合があるので注意。