極座標系
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/07 03:01 UTC 版)
極座標系（きょくざひょうけい、英: polar coordinate system）とは、n 次元ユークリッド空間 Rn 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ1, …, θn−1 からなる座標のことである。点 S(0, 0, x3, …,xn) を除く直交座標系は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。
円座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:21 UTC 版)
円座標は、直交座標への座標変換 (x , y) = f(r , θ) = (r cos θ, r sin θ) を与えるから、ヤコビアンは | J f | = | ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) | = | cos θ − r sin θ sin θ r cos θ | = r {\displaystyle |J_{f}|=\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}\right|={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r} となる。従って、特異点は r = 0 となる点、即ち (0, θ) である。これは直交座標での (0, 0) を表す。
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円座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:20 UTC 版)
2 次元ユークリッド空間 R2 における極座標は円座標（circular coordinates）と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面（または平面極座標）ともいう。特異点は (r, θ) = (0, θ) 即ち、xy座標での原点 (x, y) = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = reiθ と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。 円座標 (r,θ) から直交直線座標 (x,y) への変換は { x = r cos θ y = r sin θ {\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\\end{cases}}} で与えられる。角度座標の範囲を −π < θ ≤ π とする場合の直交直線座標から円座標への変換は { r = x 2 + y 2 θ = sgn ( y ) arccos ( x / x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\operatorname {sgn}(y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\\\end{cases}}} で与えられる。ここで sgn は符号関数である。原点 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため θ が定まらない。
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