極座標を用いて
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 07:37 UTC 版)
ガウス積分を求める標準的な方法として、以下のアイデアはポアソンまで遡れる： 平面 R2 上の函数 exp{−(x2 + y2)} = exp(−r2) を考え、これを2通りの方法で計算する。 一つは直交座標系に関する二重積分として計算し、その値は求める値の平方になることを確かめる。 いま一つは極座標系に関する二重積分（いわゆるバウムクーヘン積分（英語版））として計算し、その値が π となることを確かめる。 広義積分が現れることに注意して、これら2つの計算を比較して積分の値が求まる。即ち、面積要素 dA が xy-直交座標系では dA = dx dy, rθ-極座標系では dA = r dr dθ で与えられることに注意すれば、 ∫ R 2 exp ( − ( x 2 + y 2 ) ) d A = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ( ∫ − ∞ ∞ exp ( − t 2 ) d t ) 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{2}}\exp(-(x^{2}+y^{2}))\,dA=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-t^{2})\,dt\right)^{2},\end{aligned}}} および ∫ R 2 exp ( − ( x 2 + y 2 ) ) d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ exp ( − r 2 ) r d r d θ = 2 π ∫ 0 ∞ r exp ( − r 2 ) d r = π ∫ − ∞ 0 e s d s = π {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{2}}\exp(-(x^{2}+y^{2}))\,dA&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\exp(-r^{2})\,r\,dr\,d\theta \\&=2\pi \int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{2})\,dr=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds=\pi \end{aligned}}} と計算できる。後者では s = −r2 なる置換を行って、ds = −2r dr となることを用いている。さてこれらの結果から ( ∫ − ∞ ∞ exp ( − x 2 ) d x ) 2 = π {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-x^{2})\,dx\right)^{2}=\pi } であり、符号を考慮して ∫ − ∞ ∞ exp ( − x 2 ) d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp(-x^{2})\,dx={\sqrt {\pi }}} を得る。 上記の考察において、広義二重積分や二つの式を等しいとおいたことに対する正当性を再考しておこう。まずは近似函数 I ( a ) = ∫ − a a exp ( − x 2 ) d x {\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}\exp(-x^{2})\,dx} を考える。求めるガウス積分が絶対収斂ならば、それはコーシー主値、即ち lim a → ∞ I ( a ) {\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)} なる極限によって求められることになる。これを見るには、 ∫ − ∞ ∞ | exp ( − x 2 ) | d x < ∫ − ∞ − 1 − x exp ( − x 2 ) d x + ∫ − 1 1 exp ( − x 2 ) d x + ∫ 1 ∞ x exp ( − x 2 ) d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\exp(-x^{2})|\,dx<\int _{-\infty }^{-1}-x\exp(-x^{2})\,dx+\int _{-1}^{1}\exp(-x^{2})\,dx+\int _{1}^{\infty }x\exp(-x^{2})\,dx<\infty } が成り立つという事実を確かめればよい。故に I(a) の平方をとれば I ( a ) 2 = ∫ − a a ∫ − a a exp ( − ( x 2 + y 2 ) ) d x d y {\displaystyle I(a)^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}\exp(-(x^{2}+y^{2}))\,dx\,dy} と書くことができて、フビニの定理により、これは xy-座標平面における面積分 ∫ exp ( − ( x 2 + y 2 ) ) d A {\displaystyle \int \exp(-(x^{2}+y^{2}))\,dA} に等しいことが確かめられる。ただし、積分域は {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} を頂点集合とする正方形である。 指数函数は全実数に対して正の値を取るから、上記の積分域の内接円上での積分は I(a)2 よりも小さく、同様に外接円上での積分は I(a)2 よりも大きい。これら二つの円板上での積分は、直交座標系から極座標系へ x = r cos θ , y = r sin θ , d x d y = r d r d θ {\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta ,\quad dx\,dy=rdr\,d\theta } なる標準的な変換でうつれば容易に計算できるから、積分を実行して π ( 1 − e − a 2 ) < I ( a ) 2 < π ( 1 − e − 2 a 2 ) {\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})<I(a)^{2}<\pi (1-e^{-2a^{2}})} なる評価を得ることができる。a → ∞ なる極限をとれば、挟み撃ちの原理によって等式 ( ∫ − ∞ ∞ exp ( − x 2 ) d x ) 2 = π {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-x^{2})\,dx\right)^{2}=\pi } が正当化できる。
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