発散定理とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

発散定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/16 23:18 UTC 版)

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定義
導関数 (一般化（英語版）) 微分無限小関数の全
概念
微分の記法二階導関数三階導関数（英語版）変数変換（英語版）陰関数の微分 Related rates（英語版）テイラーの定理
法則と恒等式（英語版）
和（英語版）積合成冪（英語版）商一般ライプニッツファー・ディ・ブルーノの公式（英語版）

定義
積分一覧
不定積分積分 (広義) リーマン積分ルベーグ積分線積分複素線積分
道具
部分 Discs（英語版）円殻（バウムクーヘン）置換三角置換（英語版）部分分数（英語版）順序（英語版）漸化式

収束判定法（英語版）
幾何 (算術幾何) 調和交代冪二項テイラー
項の極限（項判定法）（英語版）比冪根積分比較極限比較（英語版）交代級数（英語版）凝集ディリクレアーベル（英語版）

発散定理（はっさんていり、英語: divergence theorem）は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。

ガウスの定理（ガウスのていり、英語: Gauss' theorem）とも呼ばれる。

発見

1762年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって発見され、その後カール・フリードリヒ・ガウス（1813年）、ジョージ・グリーン（1825年）、ミハイル・オストログラツキー（1831年）によって、それぞれ独立に再発見された^[1]^{[注 1]}。オストログラツキーは、またこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。

数式を用いて述べると次のようになる。まず、R³ で定義された滑らかなベクトル場 ${\boldsymbol {F}}=(F_{1},F_{2},F_{3})$

プロジェクト数学

発散定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 04:37 UTC 版)

同様に、発散定理 ∫ V o l ∇ ⋅ F d V o l = ∮ ∂ Vol F ⋅ d Σ {\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}} はベクトル場をユークリッド体積形式で縮約することによって得られる (n-1) 形式とみなす場合の特殊ケースである。これの応用は F = fc の場合である。ここで c は任意の定数ベクトル。積の発散を実行すると、 c ⋅ ∫ V o l ∇ f d V o l = c ⋅ ∮ ∂ V o l f d Σ {\displaystyle \mathbf {c} \cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\mathbf {c} \cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}} が得られる。これは任意の c について成り立つため、 ∫ V o l ∇ f d V o l = ∮ ∂ V o l f d Σ {\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}} が成り立つ。

※この「発散定理」の解説は、「一般化されたストークスの定理」の解説の一部です。
「発散定理」を含む「一般化されたストークスの定理」の記事については、「一般化されたストークスの定理」の概要を参照ください。

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