発散定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/16 23:18 UTC 版)
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発散定理（はっさんていり、英語: divergence theorem）は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。
ガウスの定理（ガウスのていり、英語: Gauss' theorem）とも呼ばれる。
発見
1762年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって発見され、その後カール・フリードリヒ・ガウス（1813年）、ジョージ・グリーン（1825年）、ミハイル・オストログラツキー（1831年）によって、それぞれ独立に再発見された[1][注 1]。オストログラツキーは、またこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。
定理の内容
数式を用いて述べると次のようになる。まず、R3 で定義された滑らかなベクトル場 
発散定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 04:37 UTC 版)
「一般化されたストークスの定理」の記事における「発散定理」の解説
同様に、発散定理 ∫ V o l ∇ ⋅ F d V o l = ∮ ∂ Vol F ⋅ d Σ {\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}} はベクトル場をユークリッド体積形式で縮約することによって得られる (n-1) 形式とみなす場合の特殊ケースである。これの応用は F = fc の場合である。ここで c は任意の定数ベクトル。積の発散を実行すると、 c ⋅ ∫ V o l ∇ f d V o l = c ⋅ ∮ ∂ V o l f d Σ {\displaystyle \mathbf {c} \cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\mathbf {c} \cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}} が得られる。これは任意の c について成り立つため、 ∫ V o l ∇ f d V o l = ∮ ∂ V o l f d Σ {\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}} が成り立つ。
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