ベクトル解析の公式の一覧(ベクトルかいせきのこうしきのいちらん)では、3次元空間におけるベクトル解析の公式の一覧を与える。
内積と外積
ここで
,
,
は任意のベクトルである。また重複添え字については和を取る(アインシュタインの縮約記法)。
はレヴィ=チヴィタ記号、
は
,
がなす角である。
内積[1]
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外積[1]
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スカラー三重積[2][3]
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ベクトル三重積[4][3]
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ヤコビ恒等式[3]
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四重積[3]
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ここで
,
は任意のベクトル場,
は任意のスカラー場である。[3]
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ヘルムホルツ分解[3]
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積分公式
ここで
,
,
は任意のベクトル場,
,
は任意のスカラー場である。また,
は空間領域,
はその境界,
は面,
はその法線ベクトル (
の場合
は外向きに取る),
は面要素ベクトルである。閉曲線
に関する線積分
は法線
に対応する向きとする。
ガウスの発散定理および関連する公式[3](最後の等式はグリーンの定理である)
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ストークスの定理および関連する公式[3]
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曲線座標
曲線座標における勾配、発散、回転、ラプラシアン、物質微分の公式。
円柱座標
円柱座標
と直交座標
の変換[5]
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単位基底ベクトル[5]
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計量[6]
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体積要素[6]
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勾配[6]
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発散[6]
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回転[6]
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ラプラシアン (スカラー場)[6]
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ラプラシアン (ベクトル場)[6]
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物質微分[7]
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球座標
球座標
と直交座標
の変換[5]
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単位基底ベクトル[5]
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計量[8]
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体積要素[8]
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勾配[8]
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発散[8]
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回転[8]
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ラプラシアン (スカラー場)[8]
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ラプラシアン (ベクトル場)[9]
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物質微分[7]
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直交曲線座標
3次元ユークリッド空間
の曲線座標
について、その座標系で計量が
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という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ[10]。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを
とする。
体積要素[11]
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勾配[11]
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発散[11]
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回転[11]
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ラプラシアン (スカラー場)[11]
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物質微分[7]
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脚注