内積と外積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/21 14:06 UTC 版)
「ベクトル解析の公式の一覧」の記事における「内積と外積」の解説
ここで A {\displaystyle \mathbf {A} } , B {\displaystyle \mathbf {B} } , C {\displaystyle \mathbf {C} } は任意のベクトルである。また重複添え字については和を取る。 ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} はレヴィ＝チヴィタ記号、 θ {\displaystyle \theta } は A {\displaystyle \mathbf {A} } , B {\displaystyle \mathbf {B} } がなす角である。 内積 A ⋅ B = A i B i = A x B x + A y B y + A z B z = | A | | B | cos θ {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{i}B_{i}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}=|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta } A ⋅ B = B ⋅ A {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} } 外積 A × B = ( ϵ i j k A j B k ) e i = ( A y B z − A z B y ) e x + ( A z B x − A x B z ) e y + ( A x B y − A y B x ) e z {\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =(\epsilon _{ijk}A_{j}B_{k})\mathbf {e} _{i}=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\mathbf {e} _{x}+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})\mathbf {e} _{y}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\mathbf {e} _{z}} A × B = − B × A {\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} } | A × B | = | A | B | sin θ {\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |=|\mathbf {A} |\mathbf {B} |\sin \theta } スカラー三重積 A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ ( C × A ) = C ⋅ ( A × B ) {\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )} ベクトル三重積 A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( B ⋅ C ) A {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {A} } ヤコビ恒等式 A × ( B × C ) + B × ( C × A ) + C × ( A × B ) = 0 {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0} 四重積 ( A × B ) ⋅ ( C × D ) = ( A ⋅ C ) ( B ⋅ D ) − ( A ⋅ D ) ( B ⋅ C ) {\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )} ( A × B ) × ( C × D ) = [ A ⋅ ( C × D ) ] B − [ B ⋅ ( C × D ) ] A ) {\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=[\mathbf {A} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )]\mathbf {B} -[\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )]\mathbf {A} )}
※この「内積と外積」の解説は、「ベクトル解析の公式の一覧」の解説の一部です。
「内積と外積」を含む「ベクトル解析の公式の一覧」の記事については、「ベクトル解析の公式の一覧」の概要を参照ください。
- 内積と外積のページへのリンク
