ベクトル三重積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/26 23:11 UTC 版)
「三重積 (ベクトル解析)」の記事における「ベクトル三重積」の解説
ベクトル三重積（英: vector triple product）は三つのベクトルからベクトル値を返す三項演算、すなわち、2つのベクトルのクロス積から作られる擬ベクトルと残りのベクトルとのクロス積 a × ( b × c ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})} であり、以下の性質が成り立つ: a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}){\boldsymbol {c}}} ( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}} a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})+{\boldsymbol {b}}\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {c}}\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=0} 1番目および2番目の公式はラグランジュの公式と呼ばれることもあるが、単に「ベクトル三重積の公式」と呼ばれることが多い。2番目の公式は1番目の公式とクロス積の反対称性から導き出せる。1番目および2番目の公式により a × ( b × c ) ≠ ( a × b ) × c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\neq ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}} すなわち、クロス積は結合則が成り立たないことが導かれる。3番目の公式はヤコビ恒等式 (英: Jacobi Identity) であり、1番目の公式より明らかである。 ベクトル三重積の公式をつかってベクトルラプラシアンを ▽ 2 f = grad ( div f ) − rot ( rot f ) ∵ ∇ × ( ∇ × f ) = ∇ ( ∇ ⋅ f ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) f {\displaystyle {\begin{aligned}\bigtriangledown ^{2}{\boldsymbol {f}}&=\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\boldsymbol {f}})-\operatorname {rot} (\operatorname {rot} {\boldsymbol {f}})\\\because \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {f}})&=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {f}})-(\nabla \cdot \nabla ){\boldsymbol {f}}\end{aligned}}} と展開できる。これは一般化されたラプラス作用素 (ラプラス–ド・ラーム作用素（英語版）) Δ = d δ + δ d {\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d} の具体例の一つである。
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