ビネ・コーシーの恒等式とスカラー４重積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 21:45 UTC 版)
「ビネ・コーシーの恒等式」の記事における「ビネ・コーシーの恒等式とスカラー４重積」の解説
n = 3, K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } のとき ( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) − ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) ( c 1 d 2 − c 2 d 1 ) + ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) ( c 2 d 3 − c 3 d 2 ) + ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) ( c 1 d 3 − c 3 d 1 ) ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) = ( a × b ) 3 ( c × d ) 3 + ( a × b ) 1 ( c × d ) 1 + ( a × b ) 2 ( c × d ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)&=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})\\&+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})\\&+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})\\({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{3}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{3}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{1}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{1}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{2}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{2}\end{aligned}}} すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式 ( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) ( a , b , c , d ∈ R 3 ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}\in \mathbb {R} ^{3})} が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。） この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば { ( a × b ) × c } ⋅ d = { ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a } ⋅ d ∴ ( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle {\begin{aligned}\{({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}\}\cdot {\boldsymbol {d}}&=\left\{({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\right\}\cdot {\boldsymbol {d}}\\\therefore ~({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\end{aligned}}} とベクトル三重積の公式が得られる。 また、c = a, d = b とおくと、 ‖ a × b ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 ( a , b ∈ R 3 ) {\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{3})} と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。
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