ビネーの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)
スターリングの公式は収束しない級数を伴うので解析的に扱いづらいが、収束しない級数を収束する積分に換えたものとしてビネーの(第二)公式がある。 Γ ( z + 1 ) = 2 π z ( z e ) z e μ ( z ) , μ ( z ) = 2 ∫ 0 ∞ arctan ( t / z ) e 2 π t − 1 d t , ( ℜ z > 0 ) {\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}e^{\mu (z)},\quad \mu (z)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt,\quad (\Re {z}>0)} ビネーの公式は、スターリングの級数を形式的に(収束条件を無視して)操作することによっても導かれるが、厳密には対数ガンマ関数の導関数にアベル・プラナの和公式を適用して得られる。 log Γ ( z ) = lim N → ∞ z log N + ∑ n = 1 N log n − ∑ n = 0 N log ( n + z ) {\displaystyle \log \Gamma (z)=\lim _{N\to \infty }z\log N+\sum _{n=1}^{N}\log n-\sum _{n=0}^{N}\log(n+z)} d d z log Γ ( z ) = lim N → ∞ log N − ∑ n = 0 N 1 n + z {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)=\lim _{N\to \infty }\log N-\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n+z}}} d 2 d z 2 log Γ ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + z ) 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}} ℜ z > 0 {\displaystyle \Re z>0} なら f = ( n + z ) − 2 {\displaystyle f=(n+z)^{-2}} は右半平面において正則であるからプラナの和公式により d 2 d z 2 log Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ 1 ( n + z ) 2 d t + 1 2 z 2 + i ∫ 0 ∞ ( z + i t ) − 2 − ( z − i t ) − 2 e 2 π t − 1 d t = 1 z + 1 2 z 2 + i ∫ 0 ∞ ( z + i t ) − 2 − ( z − i t ) − 2 e 2 π t − 1 d t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}dt+{\frac {1}{2z^{2}}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}}dt\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}}dt\\\end{aligned}}} 積分して d d z log Γ ( z ) = C 1 + log z − 1 2 z + i ∫ 0 ∞ − ( z + i t ) − 1 + ( z − i t ) − 1 e 2 π t − 1 d t {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)=C_{1}+\log z-{\frac {1}{2z}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {-(z+it)^{-1}+(z-it)^{-1}}{e^{2\pi t}-1}}dt} log Γ ( z ) = C 2 + C 1 z + z log z − log z 2 + i ∫ 0 ∞ − log ( z + i t ) + log ( z − i t ) e 2 π t − 1 d t = C 2 + C 1 z + ( z − 1 2 ) log z + 2 ∫ 0 ∞ arctan ( t / z ) e 2 π t − 1 d t {\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=C_{2}+C_{1}z+z\log z-{\frac {\log z}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {-\log(z+it)+\log(z-it)}{e^{2\pi t}-1}}dt\\&=C_{2}+C_{1}z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\\\end{aligned}}} ℜ z > 0 {\displaystyle \Re z>0} なら | tan ( t / z ) | < M {\displaystyle |\tan(t/z)|
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