ビネーの公式

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ビネーの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)

「スターリングの近似」の記事における「ビネーの公式」の解説

スターリングの公式は収束しない級数を伴うので解析的に扱いづらいが、収束しない級数を収束する積分に換えたものとしてビネーの(第二)公式がある。 Γ ( z + 1 ) = 2 π z ( z e ) z e μ ( z ) , μ ( z ) = 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t , ( ℜ z > 0 ) ビネーの公式は、スターリングの級数を形式的に(収束条件を無視して)操作することによっても導かれるが、厳密には対数ガンマ関数の導関数にアベル・プラナの和公式を適用して得られる。 log ⁡ Γ ( z ) = lim N → ∞ z log ⁡ N + ∑ n = 1 N log ⁡ n − ∑ n = 0 N log ⁡ ( n + z ) d d z log ⁡ Γ ( z ) = lim N → ∞ log ⁡ N − ∑ n = 0 N 1 n + z d 2 d z 2 log ⁡ Γ ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + z ) 2 ℜ z > 0 なら f = ( n + z ) − 2 は右半平面において正則であるからプラナの和公式により d 2 d z 2 log ⁡ Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ 1 ( n + z ) 2 d t + 1 2 z 2 + i ∫ 0 ∞ ( z + i t ) − 2 − ( z − i t ) − 2 e 2 π t − 1 d t = 1 z + 1 2 z 2 + i ∫ 0 ∞ ( z + i t ) − 2 − ( z − i t ) − 2 e 2 π t − 1 d t 積分して d d z log ⁡ Γ ( z ) = C 1 + log ⁡ z − 1 2 z + i ∫ 0 ∞ − ( z + i t ) − 1 + ( z − i t ) − 1 e 2 π t − 1 d t log ⁡ Γ ( z ) = C 2 + C 1 z + z log ⁡ z − log ⁡ z 2 + i ∫ 0 ∞ − log ⁡ ( z + i t ) + log ⁡ ( z − i t ) e 2 π t − 1 d t = C 2 + C 1 z + ( z − 1 2 ) log ⁡ z + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t ℜ z > 0 なら | tan ⁡ ( t / z ) | < M {\displaystyle |\tan(t/z)| 1 ) ≤ ∫ 0 | z | 1 / 2 d t 2 π ( | z | − t ) + M e 2 π e 2 π − 1 ∫ t = | z | 1 / 2 ∞ e − 2 π t d t {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|&\leq \left|\int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|+\left|\int _{|z|^{1/2}}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\\&\leq \int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {\sum _{k=1}^{\infty }|t/z|^{k}dt}{2\pi t}}+M\int _{|z|^{1/2}}^{\infty }{\frac {e^{2\pi }dt}{(e^{2\pi }-1)e^{t}e^{2\pi }}}\qquad (|z|>1)\\&\leq \int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {dt}{2\pi (|z|-t)}}+{\frac {Me^{2\pi }}{e^{2\pi }-1}}\int _{t=|z|^{1/2}}^{\infty }e^{-2\pi t}dt\end{aligned}}} lim z → ∞ | ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t | ≤ lim z → ∞ 1 2 π [ log ⁡ ( | z | − t ) ] 0 | z | 1 / 2 + lim z → ∞ M e 2 π 2 π ( e 2 π − 1 ) [ − e − 2 π t ] | z | 1 / 2 ∞ = 0 {\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\leq \lim _{z\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}{\Big [}\log \left(|z|-t\right){\Big ]}_{0}^{|z|^{1/2}}+\lim _{z\to \infty }{\frac {Me^{2\pi }}{2\pi \left(e^{2\pi }-1\right)}}{\Big [}-e^{-2\pi t}{\Big ]}_{|z|^{1/2}}^{\infty }=0} である。スターリングの公式と比較して積分定数を求め log ⁡ Γ ( z ) = 1 2 log ⁡ 2 π − z + ( z − 1 2 ) log ⁡ z + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t {\displaystyle \log \Gamma (z)={\frac {1}{2}}\log 2\pi -z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt} 真数に直して Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = 2 π z ( z e ) z e μ ( z ) , μ ( z ) = 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t , ( ℜ z > 0 ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}e^{\mu (z)},\quad \mu (z)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt,\quad (\Re z>0)} を得る。なお、ビネーの公式を元にして部分積分を繰り返すとスターリングの級数が得られる。