三重積の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:28 UTC 版)
詳細は「ベクトル三重積」を参照 ベクトル三重積： a × ( b × c ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})} ベクトル a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} とベクトル ( b × c ) {\displaystyle ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})} の外積であるから、これはベクトルである。そのx 成分は { a × ( b × c ) } x = a y ( b × c ) z − a z ( b × c ) y = a y ( b x c y − b y c x ) − a z ( b z c x − b x c z ) = a y b x c y − a y b y c x − a z b z c x + a z b x c z = ( a y c y + a z c z ) b x − ( a y b y + a z b z ) c x = ( a y c y + a z c z ) b x + a x b x c x − ( a y b y + a z b z ) c x − a x b x c x = ( a x c x + a y c y + a z c z ) b x − ( a x b x + a y b y + a z b z ) c x = ( a ⋅ c ) b x − ( a ⋅ b ) c x {\displaystyle {\begin{aligned}\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{x}&=a_{y}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{z}-a_{z}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{y}\\&=a_{y}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})-a_{z}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})\\&=a_{y}b_{x}c_{y}-a_{y}b_{y}c_{x}-a_{z}b_{z}c_{x}+a_{z}b_{x}c_{z}\\&=(a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})b_{x}-(a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})c_{x}\\&=(a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})b_{x}+a_{x}b_{x}c_{x}-(a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})c_{x}-a_{x}b_{x}c_{x}\\&=(a_{x}c_{x}+a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})b_{x}-(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})c_{x}\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{x}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{x}\end{aligned}}} 同様にして、y 成分、z 成分は、 { a × ( b × c ) } y = ( a ⋅ c ) b y − ( a ⋅ b ) c y { a × ( b × c ) } z = ( a ⋅ c ) b z − ( a ⋅ b ) c z {\displaystyle {\begin{aligned}&\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{y}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{y}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{y}\\&\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{z}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{z}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{z}\end{aligned}}} ゆえに、 a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}){\boldsymbol {c}}}
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