三重積 (ベクトル解析)

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三重積 (ベクトル解析)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/01 18:59 UTC 版)

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三重積（さんじゅうせき）とは3次元ユークリッド空間における3つのベクトルの積であり、ベクトル解析におけるスカラー三重積とベクトル三重積の総称である。

スカラー三重積

3つのベクトルによって定義される平行六面体

スカラー三重積（英: scalar triple product）は三つのベクトルから擬スカラー値を返す三項演算、すなわち、2つのベクトルのクロス積から作られる擬ベクトルと残りのベクトルとのドット積

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}$

3-ベクトルは有向体積である。そのホッジ双対は大きさが体積に等しい擬スカラーである。

外積代数あるいは幾何代数（英語版）において、2つのベクトルの外積は2-ベクトル（英語版）であり、3つのベクトルの外積は3-ベクトル（英語版）である。通常のベクトルである1-ベクトルが向き付けられた線分 (線要素) であるように、2-ベクトルは向き付けられた面積要素(面要素)であり、3-ベクトルは向き付けられた体積要素 (立体要素) である。

ベクトル a, b, c に対して定義された積

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\wedge {\boldsymbol {b}}\wedge {\boldsymbol {c}}}$