ヤコビ恒等式
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数学におけるヤコビ恒等式（ヤコビこうとうしき、英語: Jacobi identity）とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。ヤコビは1862年の微分方程式に関する論文の中でポアソン括弧に対するヤコビ恒等式を導いた[1][2]。
定義
集合 
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ヤコビ恒等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:28 UTC 版)
ベクトル積による演算結果はベクトルなので、別のベクトルとのベクトル積を考えることができる。3つのベクトルのベクトル積はベクトル三重積と呼ばれている。ベクトル三重積は [ a , [ b , c ] ] = ( a , c ) b − ( a , b ) c {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]=({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}} となる。3つのスカラーの積と異なり、ベクトル三重積では一般に [ a , [ b , c ] ] − [ [ a , b ] , c ] ≠ 0 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]-[[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}],{\boldsymbol {c}}]\neq {\boldsymbol {0}}} であり、結合法則が成り立たない。ベクトル積では結合法則に代わって [ a , [ b , c ] ] − [ [ a , b ] , c ] = [ b , [ a , c ] ] {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]-[[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}],{\boldsymbol {c}}]=[{\boldsymbol {b}},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}}]]} の関係式が成り立つ。これを変形すれば [ a , [ b , c ] ] + [ c , [ a , b ] ] + [ b , [ c , a ] ] = 0 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]+[{\boldsymbol {c}},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]]+[{\boldsymbol {b}},[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]]={\boldsymbol {0}}} が得られ、ヤコビ恒等式と呼ばれている。
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