ヤコビ行列の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} において、 e 1 ⋯ , e n {\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}} 全てに対して偏微分可能であるとき、 ( J f ) [ p ] = ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋮ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) {\displaystyle {(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)} (1-20) を f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle \mathbf {p} } におけるヤコビ行列という。
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ヤコビ行列の導入
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式 (1-2-8) に e 1 ⋯ , e n {\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}} を代入すると、 ∂ f ∂ x j | [ p ] = A ⋅ e j {\displaystyle {\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{j}} (2-9) である。従って f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} での微分 A {\displaystyle {\textbf {A}}} の第 j 列は、 ∂ f ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}} (2-10) 第 i , j 成分は ∂ f i ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} (2-11) となる。従って、 A = ( ∂ f ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f ∂ x n | [ p ] ) = ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋮ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) = ( J f ) [ p ] {\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}} (2-12) となる。
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