ベクトル値函数の微分とは? わかりやすく解説

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ベクトル値函数の微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/12/31 08:08 UTC 版)

ベクトル値函数」の記事における「ベクトル値函数の微分」の解説

変数ベクトル値函数 ƒ: ℝ → ℝn対し、その微分実函数場合とまったく同じ形で、前進差分商の極限 f ′ ( t ) := lim h → 0 f ( t + h ) − f ( t ) h {\displaystyle \mathbf {f} '(t):=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (t+h)-\mathbf {f} (t)}{h}}} で定義できるベクトル演算成分ごと定義されいるから上記極限存在すれば、それは成分函数の微分からなるベクトル値函数一致する: ƒ′(x) = (ƒ1′(x), ƒ1′(x), …, ƒn′(x)). 実函数微分に関する重要な性質はほとんどがベクトル値函数に対して成立する。とくに微分線型性積の法則成り立つ: これらの結果ベクトル値函数をベルソルを用いた形に書いて計算してみればわかる(ベルソルの微分零ベクトルであることに注意)。 ベクトル変数ベクトル値函数 ƒ: ℝnℝm場合は、これを m 本の n-変数函数 yi (i = 1, …, m) の組とみれば、mn 個の偏微分考えられて、これら偏導函数を第 i 行がスカラー値函数 yi勾配となるようにして得られる m 行 n 列の排列 ( ∂ y 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ y 1x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y m ∂ x 1 ⋯ ∂ y mx n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}} は ƒ のヤコビ行列呼ばれる

※この「ベクトル値函数の微分」の解説は、「ベクトル値函数」の解説の一部です。
「ベクトル値函数の微分」を含む「ベクトル値函数」の記事については、「ベクトル値函数」の概要を参照ください。

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