ベクトル値関数の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 04:41 UTC 版)
実数値の変数 x をもち、 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に値をもつベクトル値関数 f(x) = (f1(x), …, fm(x)) を考える。これが一点 x = a において微分可能であるというのは、 lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} という極限が存在することである。上記の極限として現れるベクトルを f′(a) で表す（これも R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} の元である）。一般には f′(a) に特に名前はないが、f(x) が R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} における点の位置の変化（曲線といってもよい）を表しているとみなす場合は、f′(a) を速度ベクトルとよぶことがある。 f(x) = (f1(x), …, fm(x)) が x = a において微分可能であることと、各成分 fi(x) がすべて x = a において微分可能であることは同値である。また f ′ ( a ) = ( f 1 ′ ( a ) , … , f m ′ ( a ) ) {\displaystyle f'(a)=(f'_{1}(a),\dots ,f'_{m}(a))} が成り立つ。 ベクトル値関数 f(x) が区間 I の各点で微分可能なとき、f(x) は区間 I において微分可能であるという。 ベクトル値関数については、高階微分も同様にして考えることができる。f′′(a) は、f(x) が R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} における点の位置の変化を表しているとみなす場合は、加速度ベクトルとよばれる。
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