反対称性

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反対称性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 21:17 UTC 版)

反対称性（はんたいしょうせい）とは数学で、ある要素にある変換を施した結果が、元の要素に逆符号を付けたもの（実数でいえば絶対値が同じで正負が逆）と等しくなる、という性質をいう。対象分野によっては交代性（こうたいせい）または歪対称性（わいたいしょうせい）とも呼ばれる。このような要素を「その変換に対して反対称である」という。変換によって変化しない「対称性」に類似した性質であり、対称性・反対称性とも全くない「非対称性」とは異なる。反対称性の要素に変換を複数回施すと、元と同じになる。

例

• 奇関数：変数の反転に対して反対称である関数を奇関数という。
• 波動関数（量子力学）：空間反転操作によって逆符号になる波動関数を、反対称であるという（各座標軸の反転に対して奇関数であるということ）。それに対して空間反転により変化しない波動関数を対称という。これらで表現される電子軌道をそれぞれ、反対称性軌道・対称性軌道という。
  また、同種の複数のフェルミ粒子からなる系の全波動関数は、任意の2つの粒子の交換に対して反対称である。
• 交代式：f(x, y) = x² − y² のように、変数xとyの交換操作によって逆符号になる式をいう。変数交換に対して反対称である。
• 反対称行列・反対称テンソル：行列の要素に対する転置操作により、元の行列と逆符号になるような行列を、反対称行列（または交代行列）という。同様に添字の交換により元と逆符号になるテンソルを、反対称テンソルという。反対称テンソルの例として電磁テンソルなどがある。
• 行列式：行列式は一般に、任意の2つの行または列の交換操作に対して反対称である。

関連項目

• 反対称関係
• 対称群
• 符号関数
• 転倒数