反対称テンソルとは？わかりやすく解説

数学および理論物理学において、テンソルが添字の対に関して反対称 (antisymmetric) もしくは歪対称 (skew-symmertic) であるとは、それら添字の入れ替えに関して符号が反転することを言う。また、交代的 (alternating) であるとは、それらを等しいと置いたとき零になることを言う。係数体（英語版）の標数が $2$ でないときこれら二つの概念は一致する（多重線型写像の項も参照）。

反対称: $T \dots i \dots j \dots = - T \dots j \dots i \dots$
交代: $i k = i j \Rightarrow T \dots i k \dots i j \dots = 0$

もう少し一般に、添字集合の部分集合 $J$ に関して反対称（resp. 交代的）とは、 $J$ の任意の二元に関して反対称（resp. 交代的）となるときに言う^[1]^[2]。添字については、一般に共変添字 (covariant) も反変添字 (contravariant) も考えるものとする。例えば最初の三文字に関して反対称なテンソルとは

T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }

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