テンソルの反対称成分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/04 03:13 UTC 版)
「反対称テンソル」の記事における「テンソルの反対称成分」の解説
V は標数 0 の体上のベクトル空間とする。T ∈ V⊗k を k-次テンソルとすれば、T の反対称成分（交代成分）は、符号付き平均化（反対称化、交代化） Alt T = 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn ( σ ) τ σ T {\displaystyle \operatorname {Alt} T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\tau _{\sigma }T} によって与えられる反対称テンソルである。和は k-次対称群の全体を亙ってとる。明らかに、T ∈ V⊗k が反対称テンソルであるための必要十分条件は Alt(T) = T を満たすことである。 基底をとって考えれば、和の規約を用いて T = T i 1 i 2 … i k e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i k {\displaystyle T=T_{i_{1}i_{2}\dots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}} と書くとき、T の反対称成分は Alt T = 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn ( σ ) T i σ 1 i σ 2 … i σ k e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i k {\displaystyle \operatorname {Alt} T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}} と書ける。右辺に現れるテンソル成分は、しばしば対称化する添字を角括弧で括って T [ i 1 i 2 … i k ] = 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn ( σ ) T i σ 1 i σ 2 … i σ k {\displaystyle T_{[i_{1}i_{2}\dots i_{k}]}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}} とも書かれる。例えば、V の次元は任意として、二階共変テンソル M に対し M [ a b ] = 1 2 ! ( M a b − M b a ) {\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba})} であり、また三階共変テンソル T に対して T [ a b c ] = 1 3 ! ( T a b c − T a c b + T b c a − T b a c + T c a b − T c b a ) {\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba})} と書ける。これはまた適当な階数の一般化されたクロネッカーのデルタ（英語版）を用いて、 M [ a b ] = 1 2 ! δ a b c d M c d , {\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},} T [ a b c ] = 1 3 ! δ a b c d e f T d e f {\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}} と書くことができる。これは一般に、p-次テンソル S に対して S [ a 1 … a p ] = 1 p ! δ a 1 … a p b 1 … b p S b 1 … b p {\displaystyle S_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}S_{b_{1}\dots b_{p}}} の形にまとめることができる。
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