テンソルによる一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/04 15:03 UTC 版)
「平行軸の定理」の記事における「テンソルによる一般化」の解説
平行軸の定理は慣性テンソルを用いることで一般化することができる。重心を基準とした物体の慣性テンソルを Iij とする。すると、新しい点に関して計算される慣性テンソル Jij は J i j = I i j + m ( | R | 2 δ i j − R i R j ) {\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right)} となる。ここで R = R 1 x ^ + R 2 y ^ + R 3 z ^ {\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!} は重心から新たな点までの変位ベクトル、δij はクロネッカーのデルタである。 対角要素（すなわちi = jの要素）に対して、回転軸と変位ベクトルが垂直であれば、上記の単純化した平行軸の定理が得られる。 一般化された平行軸の定理は、次のように座標系によらない形で表すことができる。 J = I + m [ ( R ⋅ R ) E 3 − R ⊗ R ] . {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right].} ここでE3は3 × 3の単位行列、 ⊗ {\displaystyle \otimes } は直積である。 さらに一般化すると基準軸の組 x, y, z が重心を通るか否かに関係なく、これらに平行な任意の直交軸の組 x′, y′, z′ についての慣性テンソルが得られる。
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