外積代数
(交代テンソル積 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:18 UTC 版)
外積代数（がいせきだいすう、独: äußere Algebra、英: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンによって導入された代数。グラスマンに因みグラスマン代数（独: Graßmann-Algebra、英: Grassmann algebra）[注 1]とも呼ばれる。
以下、特に断らない限り外国語表記はドイツ語、英語の順に記す。
概要
ベクトルの外積（がいせき、äußeres Produkt, exterior product）や楔積（くさびせき、英: wedge product）は、クロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。
クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。
外積代数（グラスマン代数）は、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。
形式的には、外積代数は ⋀(V) あるいは ⋀*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法
交代テンソル積
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「外積代数#交代テンソル代数」も参照 単純テンソル T をテンソル積 T = v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v r {\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}} として書くとき、T の交代成分はその因子ベクトルの交代積（楔積）あるいは外積 v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v r := 1 r ! ∑ σ ∈ S r sgn ( σ ) v σ 1 ⊗ v σ 2 ⊗ ⋯ ⊗ v σ r {\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}} と呼ばれる。一般に、交代テンソル空間 Alt(V) に反対称かつ結合的な積 "∧" を入れて多元環にすることができる。二つのテンソル T1 ∈ Altk1(V), T2 ∈ Altk2(V) が与えられたとき、交代化作用素を用いて T 1 ∧ T 2 = Alt ( T 1 ⊗ T 2 ) ( ∈ Alt k 1 + k 2 ( V ) ) {\displaystyle T_{1}\wedge T_{2}=\operatorname {Alt} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Alt} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right)} と定義すれば、これが実際に反対称かつ結合的であることが確かめられる。
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