対称積・交代積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 10:05 UTC 版)
詳細は「対称テンソル」および「交代テンソル」を参照 「対称代数」および「外積代数」も参照 集合 {1, 2, …, n} の置換 σ は、ベクトル空間 V の n-次デカルト冪に対する写像 σ : V n → V n ; ( v 1 , v 2 , … , v n ) ↦ σ ( v 1 , v 2 , … , v n ) = ( v σ 1 , v σ 2 , … , v σ n ) {\displaystyle \sigma \colon V^{n}\to V^{n};\;(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\mapsto \sigma (v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma n})} を誘導する。n-次デカルト冪から n-次テンソル冪への自然な多重線型埋め込み φ : V n → V ⊗ n {\displaystyle \varphi \colon V^{n}\to V^{\otimes n}} に対してテンソル積の普遍性を適用すれば、一意的な同型 τ σ : V ⊗ n → V ⊗ n s.t. φ ∘ σ = τ σ ∘ φ {\displaystyle \tau _{\sigma }\colon V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}{\text{ s.t. }}\varphi \circ \sigma =\tau _{\sigma }\circ \varphi } が得られる。同型写像 τσ は置換 σ に付随する組み紐写像 (braiding map) または置換作用素と呼ばれる。置換作用素から導かれるテンソル代数 T(V) 上の対称化作用素 Sym および交代化作用素 Alt は、斉次成分 V⊗n 上で Sym n := 1 n ! ∑ σ ∈ S n τ σ , Alt n := 1 n ! ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ⋅ τ σ {\displaystyle \operatorname {Sym} _{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\tau _{\sigma },\quad \operatorname {Alt} _{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\cdot \tau _{\sigma }} を満たすものとすれば、k-階テンソル t および k′-階テンソル t′ に対して t t ′ = Sym k + k ′ ( t ⊗ t ′ ) , t ∧ t ′ = Alt k + k ′ ( t ⊗ t ′ ) {\displaystyle tt'=\operatorname {Sym} _{k+k'}(t\otimes t'),\quad t\wedge t'=\operatorname {Alt} _{k+k'}(t\otimes t')} と置いたものは、それぞれ対称テンソル空間 S(V) および反対称テンソル空間 A(V) 上の双線型な乗法を与え、それぞれ対称（テンソル）積、交代（テンソル）積と呼ばれる（交代積は外積あるいはグラスマン積とも呼ばれる）。 「多重線型写像#対称性・反対称性・交代性」も参照
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